2020-2021年度第二学期兴县某中学高一数学期末试卷

2020-2021年度第二学期兴县第二中学高一数学期末试卷

一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

2.已知两点A（3,-1),B(6,-5),则与向量AB同向的单位向量是（)

A-CP今B•仔副c•(春.

3.若zeC且|z+2-2i|=l,则|z-1-2i|的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

4.己知向量a，bi茜足a=(1,2),b=(2,0),贝！J2a+b=()

A.(4,4)B.(2,4)C.(2,2)D.(3,2)

5.已知复数z满足z+z=8,z-z=25,则z=()

A.3+4/B.±3+4iC.4±3iD.±4+3/

6.已知复数2=生，则|z+i|=()

1+i

A-Vl3B.2A/3C.V15D.V26

7.若向量ir=(.2k-1,k）与向量r）=（4,1）共线，则（)

A.0B.4c.XD.JL

22

8.已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）

A.36KB.27TTC.18nD.I2n

9.已知向量Z=（2,1），E=（l,则向量2a-b与之的夹角为（）

A.135°B.60°C.45°D.30°

10.给出下列四个命题，其中正确的是（）

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；

③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面.

A.②③B.①②③C.①②D.②③④

（2019•新课标I）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1,2,…，1000,

从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则

下面4名学生中被抽到的是（）

A、8号学生B、200号学生C、616号学生D、815号学生

12.甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%.甲不输的概率为90%,则乙不输的概率为（）

A.60%B.50%C.40%D.30%

填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.用〃、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：

①若b//c,则a〃c；

②若aJbb,bA-c,则a-Lc；

③若a//y,b//y,则。〃/?；

④若“_Ly,b_Ly,则a//h.

其中真命题的序号是.

14.已知向量2=（2,M,b—（1>-3）,若（2a-b）J-b-则机=.

15.设向量ir=（2,4）,n=（-3,入）AeR,ir_Ln，贝！J入=.

16.化简以下各式：

①标+前+以;②标-AC+BD-CD；③而-0D+AD；④病杀诬-MP.其结果为而勺

个数是.

三.解答题（共5小题，每小题14分，共70分）

17.已知复数z=（l-iG+S（1+i）.

2-i

（1）求复数Z的实部和虚部；

（2）若z2+az+b=1-i,求实数6的值.

18.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随

机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.

(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；

(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

19.如图，在三棱柱ABC-A出।Ci中,AB=AC,侧面BCCiB」底面ABC,E,F分别为棱

和Ai。的中点.

(1)求证：E尸〃平面

(2)求证：平面AEFJL平面BCCiBi.

Bi

B

L-.............A

C.4

20.某小区所有263户家庭人口数分组表示如表:

家庭人口数12345678910

家庭数20294850463619843

(1)若将上述家庭人口数的263个数据分布记作X],X2,…，X263,平均值记作X，写出

人口数方差的计算公式(只要计算公式，不必计算结果)；

(2)写出他们家庭人口数的中位数(直接给出结果即可)；

(3)计算家庭人口数的平均数与标准差.(写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01)

21.如图，四棱锥中，以，底面A8C£>,AB1AD,BC〃AO,点E在线段4。上，

且CE//AH.

(1)求证：CE_L平面PAD-,

(2)若以=AB=1,AD=3,CD=y]2>求四棱锥P-ABCD的体积.

2020-2021年度第二学期兴县第二中学高一数学期末试卷

参考答案与试题解+析

一.选择题（共12小题）

1.下列几何体中是棱柱的有（）

【分析】根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.进行判断即可.

【解答】解：观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行”的几何体有：

①③⑤，只有它们是棱柱，

共三个.

故选：C.

【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征.有两个面互相平行，其余各面都是四边形,

并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

2.已知两点A（3,-1）,B（6,-5）,则与向量屈同向的单位向量是（）

A•春,B.仔|)C.(春｛)D.(*4)

【分析】利用鹏一可解决此题.

lABI

【解答】解：由两点A(3,-1),8(6,-5),可知与向量亚同向的单位向量是：Y-

lABI

二(3,-4)=(旦，-2).

555

故选：A.

【点评】本题考查单位向量的求法，考查数学运算能力，属于基础题.

3.若Z6C且|z+2-2i|=l,则|z-1-24的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据两个复数差的几何意义，求得|z-1-2i|的最小值.

【解答】解：,•,|z+2-2i|=l,.,.复数z对应点在以C(-2,2)为圆心、以1为半径的

圆上.

而|z-1-2i|表示复数z对应点与点A(1,2)间的距离，

故|z-1-2i|的最小值是|4C|-1=2,

故选：A.

【点评】本题主要考查两个复数差的几何意义，求复数的模的最值，属于基础题.

4.已知向量之，否曲足之=(1,2),b=⑵0),贝1J2:+己=()

A.(4,4)B.(2,4)C.(2,2)D.(3,2)

【分析】直接利用向量的坐标的加法运算求出结果.

【解答】解：向量a，b满足a=(1，2),b=(2,0).

贝U：2a+b=2(1,2)+(2,0)=(4,4).

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：向量的加法运算的应用，主要考查学生的运算能力和转

化能力，属于基础题型.

5.已知复数z满足z+z=8,z-z=25,则z=()

A.3±4/B.±3+4/C.4±3/D.±4+3z

【分析】设z=a+bi(a,b&R),依题意得，2a=8,a2+b2—25,解得a,b,即可得出.

【解答】解:设z=a+W(a,i>eR),依题意得,2a=8,a2+ft2=25.

解得〃=4,。=±3,

所以z=4±3i.

故选：C.

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轨复数的性质，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

6.已知复数z=/-,则|z+i|=()

1+i

A.V13B.25/3C.V15D.V26

【分析】求出z+i,化简，求出|z+i|的值即可.

【解答】解：•••z=3-,

1+i

.•.z+i=_4i.+，=—.(1-iJ——+i=2i(1-z)+i=2i+2+i=2+3i,

1+i(l+i)(l-i)

故忆+，|=也/=万，

故选：A.

【点评】本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题.

7.若向量ir=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线，则()

A.0B.4C.亶D.

22

【分析】根据向量共线定理，列方程求出k的值，再计算的值.

【解答】解：向量/(2k-l,k)与向量W=(4,1)共线，

贝I]2k-1-4k=0,解得k=-A,

2

IT—(-2,-A),

2

•*.m-n=-2X4+(-A)Xl=-XL.

22

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题.

8.已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为()

A.36nB.27nC.18nD.12TT

【分析】设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积.

【解答】解：设底面圆的半径为r,则高为2〃由2r・2r=36,得J=9,

所以S侧=2兀r・2r=4兀=2=36兀.

故选：A.

【点评】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.

9.已知向量1=(2,1)，1=(1,3)，则向量2a-b与a的夹角为()

A.135°B.60°C.45°D.30°

【分析】根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.

【解答】解：3=(2,1)，b=(l,3)，

则向量-5=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),

工12a-bl=V15，Ial=V5>(2a-b)a=6-1=5,

设向量2之与之的夹角为6,

则cos0=―二a二bAa=_^5

12a-bI•|"alV10,-\/52

VO°W0W180°,

/.0=45O,

故选：C.

【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于基础题.

10.给出下列四个命题，其中正确的是()

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；

③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面.

A.②③B.①②③C.①②D.②③④

【分析】由正方形的四个顶点共面，知①④错误；由②③正确.

【解答】解：在①中，由正方形的四个顶点共面，知①错误；

在②中，由公理三及推论知空间四点不共面，则其中任何三点不共线，故②正确;

在③中，由公理三及推论知空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故③正确;

在④中，由正方形的四个顶点共面，知④错误.

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性

质及推论的合理运用.

11.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1,2,…，1000,从这些新生中

用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生

中被抽到的是()

A、8号学生B、200号学生C、616号学生D、815号学生

【点评】：根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分

段间隔为10,结合从第4组抽取的号码为46,可得第一组用简单随机抽样抽取的号码.

【解答】：解：•••从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，

.•.系统抽样的分段间隔为1000100=10,

•.•46号学生被抽到，

则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号

码增加10,所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，

设其数列为｛an｝,则an=6+10(n-1)=10n-4,

当n=62时,a62=616,即在第62组抽到616.

故选：C.

【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔.

12.甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%.甲不输的概率为90%,则乙不输的概率为()

A.60%B.50%C.40%D.30%

【分析】根据互斥事件的概率公式即可直接求解.

【解答】解：设4=｛甲获胜｝,B=｛甲不输｝,C=｛甲乙和棋｝，则甲乙互斥且8=4+0

P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C),

所以尸(A)=P(B)-P(C)=90%-50%=40%.

则乙不输的概率为1-40%=60%.

故选：A.

【点评】本题主要考查互斥事件的概率公式的求解，属于基础题.

二.填空题(共4小题)

13.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：

①若b//c,则a〃c；

②若〃_L/?,b_Lc,则。J_c；

③若〃〃y,b//y9贝！Ja〃匕;

④若〃_Ly,人_Ly，则〃〃b.

其中真命题的序号是一①④.

【分析】由。、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，知：若a〃b,b//c,则。〃c；

若〃_Lb,h.Lc,贝lj〃与c相交、平行或异面；若。〃y,b//y,贝Ija与b相交、平行或异

面；

若。1_乃b_Ly,则。〃反

【解答】解：由〃、〃、c表示三条不同的直线，y表示平面，知：

若〃〃4b〃c,则。〃c,故①正确；

若〃_Lb,b_Lc,则。与c相交、平行或异面，故②不正确；

若。〃y,b//y,则。与〃相交、平行或异面；

若a_Ly,b.Lyf则〃〃力，故④正确.

故答案为：①④.

【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

14.己知向量4=（2,M,b=（1，-3）,若（2a-b）-Lb»则"i=-1.

【分析】根据题意，求出2之一工的坐标，由向量垂直的判断方法可得（2W-E）・E=3-

3（2m+3）=0,解可得力的值,即可得答案.

【解答】解：根据题意，a=（2,M,b=（B-3）,则2之-三=（3,2m+3）,

若（2a-b）-Lb»则（2a-b"b=3-3（2m+3）=0,

解可得："2=~1，

故答案为：-1.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

15.设向量：=（2,4）,：=（-3,入）入6R,R±n.则入=_3_.

~2~

【分析】依题意。7=0,即-6+4入=0,解得即可.

【解答】解：依题意ir・n=0,即-6+4入=0,解得人=巨，

2

故答案为：3.

2

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，

属于基础题.

16.化简以下各式：

①元+前+以;②标-AC+BD-CD；③丞-OD+AD；@N^QP+MN-而.其结果为节的

个数是4.

【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，化简每一个式子，从而得出

结论.

【解答】解:①族+前+以=正+以=五②标-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD

=0.

③嬴-砒标=市+说=6④（NQ+QF）+（MN-MP）=NP+PN=0.

故答案为：4.

【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于容易题.

三.解答题（共5小题）

17.已知复数z=（lY）2+3（l+i）.

2-i

（1）求复数Z的实部和虚部；

（2）若z2+az+b=1-i,求实数6的值.

【分析】（1）由复数的运算法则，把复数（1T）2+3（1+i）等价转化为z=i+i,能够

z2-i

得到复数Z的实部和虚部.

（2）把z=l+i代入z2+az+b=l7,得：（a+6）+（2+a）i=\-i,由复数相等的充要条

件，能够求出实数”，〃的值.

2

【解答】解：（1）•••z=（lT）+3（1+口=更=1+口...（7分）

z2-i2-i11

...复数z的实部为1,虚部为1.

（2）由（1）知z=l+i,

代入z1+az+b=1-z,

得：（〃+/?）+（2+Q）/=1-z,

・・・卜+3=1,

#12+a-f

所以实数。，b的值分别为-3,4.…（14分）

【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的充要条件的应用，是基础题.解

题时要认真审题，仔细解答.

18.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随

机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.

(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；

(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

【分析】(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件4利用古典概型能求出三只小球

恰在两个盒子中的概率.

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件8,“三个球的编号与盒子的编号

不同”为事件C,则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C.再由B

与C互斥，由此能求出三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子

编号不同的概率.

【解答】解：(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件4

C3C2C4

则P(A)=9

4316

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件8,“三个球的编号与盒子的编号

不同”为事件C,

则''至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C.

chl+2)q2+CoX3

11

P⑻1^包P©1T-B与C互斥,

64

故P(B+C)=P(B)+P(C)■嗡哈•

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件概率加法公式等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

19.如图，在三棱柱ABC-481cl中，AB=AC,侧面BCC1B1_L底面ABC,E,尸分别为棱

8c和4G的中点.

(1)求证：EF〃平面ABBiAi；

(2)求证：平面AEF_L平面BCCiBi.

«|

【分析】(1)取481的中点G,连接尸G,BG,通过证明四边形EFGB是平行四边形得

出EF//GB,从而得出EF〃平面ABB14；

(2)由AB=AC得到AEYBC,再根据侧面BCCIBI_L底面ABC得出平面AEF_L平面

BCC\B\.

【解答】证明：(1)取4B1的中点G,连接FG,BG,

VF,G分别是AC1和的中点，：.FG//B\C\,FG=^-B\C\,

2

是BC的中点,BC//B\C\,BC=BQ,

：.BE//B\C\,BE=LBICI,

2

：.FG//BE,FG=BE,

四边形BEFG是平行四边形，

J.EF//BG,又EfC平面ABBiAi，BGu平面ABBiAi，

尸〃平面ABBIAI.

(2)'：AB=AC,E是BC的中点，

：.AE±BC,

又侧面BCCiBi_L底面ABC,侧面BCC\B\n底面ABC=BC,AEu平面ABC,

，AE_L平面BCC\B],

又平面AE凡

平面AEF_L平面BCC\B\.

【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，属于中档题.

（2012秋•宝应县校级期中）甲、乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环

数分别是：（单位：环