高中数学必修5之解三角形

高中数学必修5第一单元解三角形

【第一部分】基础知识提要

1.1正弦定理和余弦定理

i.i.i正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinAsinBsinC

正弦定理推论：①_J=/_=」=2R（R为三角形外接圆的半径〕

sinAsinBsinC

@a=2/?sinAyb=2/?sinB,c=2/?sinC

asinAhsinBasinA

@-=----,-=-----,-=-----

bsinBcsinCcsinC

④a:Z?:c=sin4:sin8:sinC

@-£_=-±_=_^=__Q+b+c

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinC

2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形

都有六个元素：三条边（a,b,c）和三个内角（A,8,C）.在三角形中，己知三角形的几个元素求其他元素的过

程叫做解三角形。

3、正弦定理确定三角形解的情况

图形关系式解的个数

A®a=bsinA

V为a一解

A/②aNb

锐

B4R

bsinA<a<b两解

।BB：

a<bsinA无解

AB

A

为a>b一解

ABA

钝

角

Jbc

或\

a<b无解

直A81B

角

4、任意三角形面积公式为:

—besinA=-ocsinB=—absinC=----

“ABC2224K

1.1.2余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍,艮］

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

1221

A.生nA班、八~+C—a"a+c—b"「a-\-b~-

余弦定理推论：cosA=-------------->cosBD=--------------,cosC=----------

2bclac2ah

6、不常用的三角函数值

15°75°105°165°

V6-V2V6+V2V6+V2V6-V2

sina

4444

叵V6+V2

COS6Z

4444

tana2-百2+V3—2—^3—2+y/3

1.2应用举例（浏览即可）

1、方位角：如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

2、方向角：如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90。的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正

西或正东）

3、仰角和俯角：如图3,与目标线在同一错垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

水平面/

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角（5）坡角与坡比

4、视角：如图4,观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。

5、铅直平行：与海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比

【小结及补充】

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-（A+B）；

2、三角形三边关系：a+b>c;a-b<c

3、三角形中的基本关系：sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC,

.A+BCA+B.CA+BC

sin-----=cos—,cos------=sin—,tan------=cot—

222222

4、正弦定理:在AABC中，。、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，则

有，一=」一=，一=2R.

sinAsinBsinC

5、正弦定理的变形公式:

①化角为边：a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=2/?sinC；

②化边为角：sinA=tsinB=,sinC二」一；

2R2R2R

③。:b:c=sinA:sinB:sinC；®-----.——=a=，=——.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

6、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一

解、两解、三解))

7、余弦定理：在AABC中，有储=从+c?-2Z?ccosA,b2*456=a2+c2-laccosB,

c2=a2+从一labcosC.

f22222i22i22

A壮上xmvli仕,A.Aa~-b~「a~+b~-c~

8O、余弦定理1的推论：cosA=---------,cosB=----------,cosC=----------.

2bc2aclab

(余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角)

9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角)

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角

的形式设。、b、c是AABC的角A、B、。的对边，则：

①若片+"=/,则。=90。；②若/+从＞。2,则c〈90°；③若/+从＜「2,则。＞90。.

11、三角形面积公式：

(1)S=-ah=-bh=-ch(hxh.人分别表示。、b、c上的高)：

2o2b2cob

(2)S=-absinC=-bcsiriA="crcsinB：

222

(3)S=a2sini?sinC_b2sinCsinA_c2sin＞1sin

2sin(8+C)2sin(C+A)2sin(^+B)'

2

(4)S=2/?sin4sin8sinCo(月为外接圆半径)

(5)S=—；

4R

(6)S=y/p(p-a)(p-b)(p-c)：(〃=；(a+b+c))

12、三角形的四心：

垂心一一三角形的三边上的高相交于一点

重心一一三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）

外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）

内心一一三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

13、三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。

特殊角的三角函数值

角度a0°30c45°60。90。120°135c150:ISO0270°3600

户TXX2jr3JT5j

a的弧度0我2x

64323462

33

sina2叵叵2

010-10

222222

32272

COSa1互0-101

22222

3_V7

tana016-100

33

【第二部分】典型例题及常考题型精讲

考察点1:利用正弦定理解三角形

例1

在△ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.

【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形

式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。

•.,4:5:。=1:2:3,而人+5+。=%.

:.a:b:=sinA:sinB:sinC=sin—:sin—:sin—=—:——:1=1:\/5:2.

解：63222

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC中，已知c=^+痣，C=30°,求a+b的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的二角函数，然后再求解。

a_b_c_V2+V6

解：VC=30°,c=&十遍,・••由正弦定理得：面人sinBsinCsin30°

:.a=2（也+遍）sinA,b=2（血+#）sinB=2（拒+6）sin（1500-A）.

Aa+b=2（+）［sinA+sin（1500-A）］=2（也+#）•2sin750•cos（750-A）=

①当75°-A=0°,即A=75°时，a+b取得最大值)=8+4后;

(2)VA=180°-(C+B)=150°-B,.\A<150c,A00<A<150°,

/.-75°<75°-A<75°,.,.cos75°<cos(75°—A)W1,

”（昆网c°s75」（员对X丐立.口卡

综合①②可得a+b的取值范围为（血+逐,8+46>

考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3

在AABC中，a2•tanB=b2.tanA,判断三角形ABC的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断AABC的形状。

解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2Rsir）B得：

/.sinAcosA=sin8cosB,

即sin2A=sin25,..24=23或24+25=万，

:.A=B^A+B=-

2.

・•・SBC为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在AABC中，由sin2A=sin2B得/八二NB”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“N

7C

A二NB或NA+NB=2”的导出过程。

例4

在AABC中,如果lga-lgc=lgsin3=一馆应.并且B为锐角,试判断此匚角形的形状.

【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断AABC的形状。

1gsin8=—1g>/2,/.sinB=

解：2.

又YB为锐角，・・・B=45°.

lg«-lgc=-lg\/2,W-=^-.

由〃2

sinA_>/2

由正弦定理，得sinC2,

..・4=180。-45。-C,代入上式得：

V2sinC=2sin(1350-C)

=2(sinl35°cosC-cos135°sinC)

=应cosC+V2sinCy

cosC=0,/.C=90°,/.A=45°.

」.△ABC为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式

例5

a2-b2加一。2天一"

--------------------1----------------------1--------------------=0

在aABC中，求证cosA+cosBcosB-cosCcosC+cosA

【点覆】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将/转化为

sin2A,sin2B,sin2C

证明：由正弦定理的变式a=2RsinA,b=27?sin8得：

/-y_44、sin?A-sin?B

cosA+cosBcosA+cosB

_4R1(1—COS2A)-(1-COS2B)]

cosA+cosB

=(COS^-COS^)=4/?2(COSBCOS4)

cosA+cosB

1-e2

----------：——=47?2(COSC-cosB)、

cosB+cosC

22

——-——-----=4/?2(cosA-cosC).

同理cosC+cosA

左边=47?2(cosB-cosA+cosC-cosB+cosA-cosC)

=0=右边

二.等式成立。

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识

去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。

例6

在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B,求证/一从二。〃

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.

证明.・.・A+B+C=180°,...B+C=1800-A.

又・；C=2B,;.C-B=B.

,/sin(B+C)=sin(l80°-A)=sin4,

c2-Z?2=4/e2(sin2C-sin2B)

=4*(sinC+sinB)(sinC-sinB)

=4R~2sin上・8sU・28s好・sin3

2222

=4R2sin(C+B)sin(C-B)=4R2sinAsin3="=右边.

•.等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

(1)A+B+C=7r,A+B=7r-C,^^-=---.2A+

222

2B=2TT-2C.

(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)

=-tanC.

(3)sin^-^CA+BCA+B

=cos——,cos=sin—aan

2222

C

cot—・

2

(4)sin(2A+2B)=-sin2C,cos(2A+2B)=cos2C,

tan(2A+2B)=-tan2C.

考察点4：求三角形的面积

例7

、「冗B2正

〃=2,C=—,cos-=------

在AABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若425，求AABC的面积S.

【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c,再求面积。

B275-2台।3

cos—=------cosn=2cos-----1=-,

解：由题意25,得25

sinB=—,sinA=sin(〃-B-C)=sin(--B)=1航,

・・・B为锐角，5410

10

c=---

由正弦定理得7'

1.11048

Sc=-acsmnB=一n一•一=一.

22757

【解题策略】在^ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用,

A+5

A+3+C=;r,sin(A+8)=sinC,cos(A+5)=-cosC;sin--------=

2

CA+B.C

cos—,cos--------=sin—.

222

例8

已知AABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，AABC的外接圆半径为12,且3,求^ABC的面

积S的最大值。

【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

^1^sinC=1.2/?sinA.2/?sinB«inC

解：22

/o

=6R2AsinB=—R21COS(4-B)-cos(A+B)]

sin2

苕MCOS(A—8)+:].

22

当cos(4—B)=l,即A=BD寸，

⑸胸)耐=¥甯=哈44=1086

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题

例9

已知AABC的内角A,B极其对边a,b满足0+匕=〃cotA+〃cotB,求内角c

【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转

化能力。

解法1：

,/a+b=«cotA+Z?cotB,且〃='=2R

sinAsin3(R为AABC的外接圆半径)，

/.sinA-cosA=cosB-sinl-sin2A=l-cos2B.

「.cos2A-cos28=0

又,/sin2A—sin28=2cos(A+B)sin(A-B).

cos(i4+B)sin(A-B)=0,

/.cos(A+8)=0或sin(A-B)=0.

..A-\-B=—或A=R,

又・・・A,B为三角形的内角，2

当A+8=1时，C=J

22

cotA=1,/.A+B=—C=—.

当A=3时，由已知得42

C=-

综上可知，内角2.

解法2：

由a+b=acotA+Z?cotB及正弦定理得，

sinA+sinB=cosA+cosB,

sinA-cos4=cosB-sin

.7C.7C.兀.兀

sinAcos---cosAsin—=cosBsin---sinBcos—,

从而4444

sin(A--)=sin(--B).

即44

A---=---B,

XV0<A+B<JT,44

22

【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。

例10

cosA_Z;_4

在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=10,cosBa3,求a,b及AABC的内切圆半径。

【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。

,,cosAb—J-ZEJcosAsinB

由----二一，可得-----=----,

解：cos3acosBsinA

变形为sinAcosA=sin8cosB,/.sin2A=sin2B

7C

■:。*b,:.2A=九一2B,A+B=—,

又2

•••△ABC是直角三角形。

a2+/=102

<b_4_

由二解得a=6,8=8.

勺内切圆半径为『空=6+8-10=2

22

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。

【易错疑难辨析】

易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解

【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：(1)已知两边和其中一边的对角，利用正弦定

理求另一边的对角时，出现漏解或增解；(2)在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。

例1

(1)在AABC中，〃=2石,。=6,4=30。,求8;

(2)在AABC中，〃=2石*=2,A=60。,求8;

【错解】

..sinAsin30°百

sinB—bx------—6x------=———Z?—60

（1）由正弦定理得a2,32

。或匕。。

sinB==2xsm60°=j_.⑶=30

（2）由正弦定理得a2j32

・AG

sinB=———

【点拨】（1）漏解，由2（0。<B<180°）可得⑶=60。或120°因为b>a,所以两解都存在。（2）

・1

sinBR=­t、

增解。由2（0。<B<180°）可得3=30。或150。，因为bVa,根据三角形中大边对大角可知BV

A,所以8=150。不符合条件，应舍去。

【正解】

.入；sinA/sin30°5/3

sinB=bx------=6x------=-=——.

（1）由正弦定理得a2j32

又・.・0。<B<180°

.•.3=60。或120。（经检验都符合题意）

.八.sinA八sin60°1

sinB=bx------=2x-----尸=

(2)由正弦定理得a2j32

XV0°<B<180°AB=30°WC150°

•・・bV九根据三角形中大边对大角可知BVA,

••・5=150°不符合条件,.-.5=30°0

易错点忽略三角形本身的隐含条件致错

【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180。等造成的错误。

例2

在△ABC中，若。=3民求］的取值范围。

【错解】

由正弦定理得

c_sinC_sin3B_sin(B+2B)

bsinBsinBsinB

_sinBcos2B+cosBsin2B

sinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-\.

•/0<cos2B<1-1<4cos2B-1<3,/.0<—<3

£=4COS?B—1

【点拨】在上述解题过程中，得到了〃后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的4注C均为

正角这一条件。

【正解】

由正弦定理可知

c_sinC_sin38_sin(8+28)

bsinBsinBsinB

sinBcos2B+cosBsin28

=cos2B+2cos2B=4cos2B-l.

vA+B+C=180°,C=3R

V2

A0°<B<45°,2vcos3〈I.

2

A1<4COSB-1<3,故IV〃V3.

【高考真题评析】

（2010•广东高考）已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=Lb=5A+C=2B

则sinC------------

【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。

n九.,asinB1

B=—sinA=--------=一,

【点拨】在AABC中，A+"+C=匹又A+C=28,故3,由正弦定理知b2又a

<b,因此6从而可知2,即sinC=l。故填1.

【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。

例2

b=[,c=>/3,C=—,

（2013•北京高考）如图1・9所示，在△ABC中，若3

【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。

【点拨】由正弦定理得，3

•••C为钝角，・・・B必为锐角，

B=—A=—.:.a=b=\.

66

故填I

【名师点评】

j_

在（°"）范围内，正弦值等于5的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的范围而

出现增解

A

▲c

G

图1-9

例3

（2013•湖北高考）在4ABC中，a=15,8=10,A=60°,则cos5等于（）

A「迎B.也C「显D曲

3333

【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。

10x迎向

1510.W.sin60°______2__^3

------=-----,二sinB=-------------

【点拨】由正弦定理得sin60。sin815153丁•…，A=60。，...B

...cosB=-sin28=J1-[3]=—

为锐角。V13J3,故选D

【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。

例4

cos

-A--C--=------B--

（2013•天津高考）在4ABC中，ABcosC

（1）求证B=C；

cosA=--sin|48+g

（2）若3,求〈3’的值.

【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦

与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。

sinB_cosB

证明：（1）在AABC中，由正弦定理及已知，得sinCcosC。

于是sin8cosc-cos8sinC=0,即sin（B-C）=（）.

因为一万＜B-C＜乃,从而B-C=O,所以B=C.

八「,cos2B=-cos（^-2B）=-cosA=-

解：（2）由A+8+C=4和（i）得4=乃_28,故3

sin2B=Vl-cos22B=-----sin48=2sin28cos2B=----

又0V2BV）.于是3从而9.

71

、7•（AD-An40-7石

cos4S=cos?22B-sin22B=一一sin4B+—=sin4Bcos—=---------.

9。所以I3）318

【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系，在

求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。

【第三部分】习题精炼

1.1.1正弦定理

第1课时正弦定理(1)

枭2⑥对点练

知识点一已知两边及一边的对角解三角形

1.在△ABC中，。=3,b=5,sin4=^,则sin8=()

5

A-Ca

B.9

案

答B

35

析由

解

知---

•1夕9.故选B.

S1

2.在△ABC中，若4=120。，AB=5fBC=7,贝I」sinB=.

答案噜

解析由正弦定理，得泰=/，即sinC=*=誓£=罂・

由题意可知C为锐角，cosC=yl1—sin2C=y^.

：・sinfi=sin(180°-120°-Q=sin(60°-Q

=sin60°cosC—cos60°sinC=^y^.

知识点二已知两角及一边解三角形

3.一个三角形的两内角分别为45。与60。，如果45。角所对的边的长是6,那么60。角所对

的边的长是()

A.3#B.3/C.3小D.2^6

答案A

解析设60c角所对的边的长为刖由就尹=肃嬴，

近

6sin600°2r-

x-sin45°=蛆-3\6,故选A.

2

4.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，若A=105。，8=45。，b=2p,则

边c=.

答案2

解析由4+8+C=180。，知。=30。，

L1

1cb_gsinC_2_

由量=市豆'^C=~^B=^2

2

知识点三判断三角形解的个数

5.aABC中，8=30,c=15,C=26。，则此三角形解的情况是（）

A.一解B.两解C.无解D.无法确定

答案B

解析・・》=30,c=15,C=26°,.*.c=Z?sin30o>Z?sinC,又c<b,如图，

・•・此三角形有两解.

6.在△A5C中，〃=80,6=100,4=45°,则此三角形解的情况是（）

A.一解B.两解

C.一解或两解D.无解

答案B

解析•"sinAv〃<b,・••此三角形有两解，故选B.

7.已知在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为小b,c,A=60。，b=4小,若此三

角形有且只有一个，则。的取值范围是（）

A.0<a<4y[3B.a=6

C.4或4=6D.0Va&4#

答案C

解析当〃=bsinA=4、/5x坐=6时，

△ABC为直角三角形，有且只有一解；

当小时，此三角形只有一解，

此时8WA=60。.综上，或。=6时，此三角形有且只有一解.故选C.

易错点一忽视三角形中的边角关系

8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=15,。=10,A=60°,则cusB

=()

X也B处c―亚D小

易错分析本题在求出sin8=坐后，对cos8的符号判断不清，误选A或C.

答案D

解析根据正弦定理瘾=心，得sin8="¥=W，又a>b,所以角8为锐角，所以

sin/isiriDciD

cos8=坐.故选D.

9.在△ABC中，已知〃=25，b=2,A=60。，贝ij8=.

易错分析(1)由sin8=E，得8=30。或150。，而忽视b=2<a=2事,从而易出错.

(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍.

答案300

解析由正弦定理，得sin8=Z?X岩A=2X果詈=；.

,.,0°<B<180o,1.3=30。或8=150°.

,：b<a,根据三角形中大边对大角可知3<4,，8=150。不符合条件，应舍去，,5=30。.

易错点二解三角形时忽略对角的讨论

10.已知在△ABC中，a=y[3,力=啦，8=45。，求角A,C和边c

易错分析本题易出现求出角4的正弦值后默认A为锐角，从而漏解A=120。的情况.

解由正弦定理——=七，得羽="为

sinAsinBqsinAsin45°

A

：.sinA=^f.\A=60。或A=120。.

当A=60。时，C=180°-45°-60°=75°.

A/2+,^6bsinC4^+，^

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°—*,•c=~2~,

当4=120。时，。=180。-45。-120。=15。.

sin15°=sin(45°—30°)=sin450cos30°—cos45°sin30°="，彳虫,/.c=粤等

/.A=60°,C=75°,c=Y2或A=120。,C=15°,

c-2•

野舟综合练

一、选择题

1.在钝角三角形A8C中，AB=®AC=1,8=30。，则角A的大小为()

A.120°B.45°C.30°D.15°

答案C

解析由于6n将AB=y[^,AC=1,8=30。代入，求得s\nC=^~.又由AABC

是钝角三角形，知C=120。，所以A=30。.故选C.

2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4=30。，a=小,则△ABC的

外接圆的半径为()

A.1B.2c.小D.2小

答案c

A

解析由正弦定理，得2氏=§1砧=:=2、/5,则A="\/5.故选C.

2

3.在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.«sinB=Z?sinAD.acosB=bcosA

答案C

解析由正弦定理急=导=点，得。sin“MM

4.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60。，则此三角形的解的情况是（）

A.有一解

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

答案C

,».c40X里

解析由正弦定理'=磊，得sinB="F=F—=小>1・・・.B不存在.即满足条

件的三角形不存在.

5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c.若C=120。，c=W，贝U（）

A.a>b

B.a<b

C.ci=b

D.。与b的大小关系不能确定

答案C

解析由正弦定理可得急=总=整2G

2

所以sinA==又显然A为锐角，可得4=30。.

所以8=180。-A-C=30。，所以〃=江故选C.

二、填空题

6.在△ABC中，已知a：。：c=4：3：5,则

答案1

।-r、,e2sirL4—sinB2X4A—3欠

解析设。左，b=3k,c=5k(k>0)i由正弦定理，付ZC3•=豆=

=4olnLxJIC1.

7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=75。，8=45。，c=3也,

则边。的值为.

答案2V5

..R36X乎

解析因为A=75。，8=45。，所以。=60。，由正弦定理可得b=—2^3.

2

8.锐角三角形的内角分别是4,B,C,并且A>8.下面三个不等式成立的是.

①sinA〉sin&

②cosA〈cos&

③sinA+sinB>cosA+cosB.

答案①②③

解析且函数y=sinr在(0,习上是增函数，，sinA>sin8,故①成立.

函数y=cosx在区间［0,兀］上是减函数，

：A>B,.\cosA<cosB,故②成立.

JT7T

在锐角三角形中，.*.A>Z—B,

则有sinA>sin修——8),BPsinA>cosB,

同理sinB>cosA,故③成立.

三、解答题

9.在3c中，已知。=10,4=45。，C=30°,解这个三角形.

解VA=45°,C=30°,・・・8=180。一(A+O=1050.

ac,日csinA10Xsin450r-

由而=菽'付『Tibsin30。=1岫・

,bccsinB1OXsin105°

得b=

由病=而乙sinCsin30°=20sin75°.

V2+V6*J2+A/61-

'.,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=4.二。=20X'J=5^/2

+5班.

10.在△ABC中，。=3,b=2#,ZB=2ZA.

⑴求cosA的值；

(2)求c的值.

解(1)因为a=3,b=2杂,NB=2NA,

所以在^BC中，由正弦定理，得熹=慧，

”、、j2sinAcosA2灰,,,A/6

所以siM=3'故cosA=3•

(2)由(1),知cosA=乎，

________A

所以sinA=y]I-cos2A=号.

又因为N8=2NA,所以COS8=2COS2A—1=上.

所以sinB=yl1—cos2B=^^,

在△ABC中，sinC=sin(A+B)

_.AD1A.,n5v5

SIFLACOSOi-cos/Asinfi9•

“sinC

所以c=

sinA

第2课时正弦定理(2)

,2❿对点练

知识点一正弦定理的变形及应用

1.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+

COS2B=()

A.—B.C.-1D.1

答案D

解析VacosA=bs\nBf

sinAcosA=sin2B=1—cos2B,

sinAcosA+cos2B=1.

3

2.在△48。中，sinA=w，a=10,则边长c的取值范围是()

A.-y,4-00B.(10,H-°°)

C.(0,10)D.0,y

答案D

解析7sinC=sinX=T,Ac=ysinC-VCe(0,n),?.0<c^y.

3.在单位圆上有三点4,B,C,设△ABC的三边长分别为小人c,则熹+大3+含

sin/izsirijD51nlz

答案7

解析..•△ABC的外接圆的直径为2R=2,

・q=-=’-=2R=2,

"s\nAsinBsinC''

.••7^7+R+~^=2+1+4=7.

sinA/zsincsinC

知识点二判断三角形的形状

4.在△ABC中，若。=2Z?cosC,则这个三角形一定是(