2025届山东省济南市高新区数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共5页2025届山东省济南市高新区数学九年级第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C． D．5或2、（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．，， B．，， C．，， D．，，3、（4分）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是（）A． B． C． D．4、（4分）下列说法，你认为正确的是（）A．0的倒数是0 B．3-1=-3 C．是有理数 D．35、（4分）下列从左到右的变形，是分解因式的是（）A．2a2C．(a+3)(a-3)=a26、（4分）如图，正比例函数y=x与反比例y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B． C．2 D．7、（4分）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是（）cm．A．3 B．4 C．6 D．88、（4分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为()A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在五边形中，若，则__________.10、（4分）若是二次函数，则m=________

．11、（4分）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为．12、（4分）已知点P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函数的图像上，则m____n（填“>”或“<”或“=”）．13、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图．则a=．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平行四边形中，，垂足分别为.（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形15、（8分）画出函数y=2x-1的图象.16、（8分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝mx+n相交于A（﹣1，2），B（4，a）两点，AE⊥y轴于点E，则：（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若y1≤y2则直接写出x的取值范围；（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足S△ABM＝S△AOB，则求点M的坐标．17、（10分）在汛期来临之前，某市提前做好防汛工作，该市的、两乡镇急需防汛物质分别为80吨和120吨，由该市的甲、乙两个地方负责全部运送到位，甲、乙两地有防汛物质分别为110吨和90吨，已知甲、乙两地运到、两乡镇的每吨物质的运费如表所示：甲乙20元/吨15元/吨25元/吨24元/吨（1）设乙地运到乡镇的防汛物质为吨，求总运费（元）关于（吨）的函数关系式，并指出的取值范围．（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．18、（10分）如图所示，，分别表示使用一种白炽灯和一种节能灯的费用（元，分别用y1与y2表示）与照明时间（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样.（1）根据图象分别求出，对应的函数（分别用y1与y2表示）关系式；（2）对于白炽灯与节能灯，请问该选择哪一种灯，使用费用会更省？B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）分解因式:__________．20、（4分）一根木杆在离地米处折断，木杆的顶端在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为__________米.21、（4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是_________．22、（4分）某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物指数如表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是________PM2.5指数150155160165天数321123、（4分）已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB交BC于点E.若在射线BA上存在点F，使，请写出相应的BF的长：BF＝_________二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知，反比例函数y=的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是-1．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值；（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2-x1=2，y1+y2=3，求△MON的面积．25、（10分）在平面直角坐标系中，过点C（1，3）、D（3，1）分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．（1）求直线CD和直线OD的解析式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交直线CD于点N，是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，设平移距离为t，△AOC与△OBD重叠部分的面积记为s，试求s与t的函数关系式．26、（12分）解方程：（1）x2-4x=3（2）x2-4=2(x+2)

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】

分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；即第三边长是5或，故选D．本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．2、B【解析】

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；【详解】A.2+3≠4，故该三角形不是直角三角形；B.3+4=5，故该三角形是直角三角形；C.4+5≠6，故该三角形不是直角三角形；D.5+6≠7，故该三角形不是直角三角形.故选B此题考查勾股定理逆定理，解题关键在于理解勾股定理逆定理的内容.3、D【解析】

根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【详解】解：旋转角是故选：D.本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．4、D【解析】

根据1没有倒数对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据实数的分类对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断．【详解】A．1没有倒数，所以A选项错误；B．3﹣1，所以B选项错误；C．π是无理数，所以C选项错误；D．3，所以D选项正确．故选D．本题考查了算术平方根：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，1的算术平方根为1．也考查了倒数、实数以及负整数指数幂．5、A【解析】

根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．【详解】2a2+4a=2a(a+2)x2-xy=x(a+3)(a-3)=a2-9x2+x-5=(x-2)(x+3)+1不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以D本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义.6、C【解析】

首先根据反比例函数图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴做垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=，得出，再根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，得出得出结果.【详解】解：根据反比例函数得对称性可知：OB=OD,AB=CD,∵四边形ABCD的面积等于，又∴S四边形ABCD＝2.故答案选：C．本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是熟知反比例函数中的几何意义，即图像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即.7、D【解析】

根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理进行计算即可．【详解】∵菱形对角线互相垂直平分，且一条对角线长为6cm，∴这条对角线的一半长3cm，又∵菱形的边长为5cm，∴由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm，∴另一条对角线长8cm．故选：D．本题考查菱形的性质和勾股定理，熟记性质及定理是关键．8、C【解析】分析：先证明AB=AF=7，DC=DE，再根据EF=AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=7，BC=AD，AD∥BC．∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，∴AB=AF=7，DC=DE=7，∴EF=AF+DE﹣AD=7+7﹣AD=3，∴AD=1，∴BC=1．故选C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、130°【解析】

首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可．【详解】解：正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°，∴∠E=540°-410°=130°，故答案为：130°．本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．10、-1.【解析】试题分析：根据二次函数的定义可知：，解得：，则m=-1．11、(-1,1).【解析】

解：过点A作AC⊥x轴于点C,过点A′作A′D⊥x轴，因为ΔOAB是等腰直角三角形，所以有OC=BC=AC=1,∠AOB=∠AOB′=45°，则点A的坐标是（1,1），OA=,又∠A′OB′=45°，所以∠A′OD=45°，OA′=,在RtΔA′OD中，cos∠A′OD=,所以OD=1，A′D=1，所以点A′的坐标是（-1,1）.考点：1、旋转的性质；2、等腰三角形的性质.12、＞【解析】

根据反比例函数的图像特点即可求解.【详解】∵点P（-1，m）,Q（-2，n）都在反比例函数的图像上，又-1＞-2，反比例函数在x＜0时，y随x的增大而增大，∴m＞n此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的图像特点.13、1．【解析】试题分析：由第一段函数得出进水速度是20÷4=5升/分，由第二段函数可算出出水速度是（8×5-10）÷（12-4）=20÷8=2．75升/分，利用两点坐标（4，20），（12，20）求出第二段函数解析式为y=x+1，则a点纵坐标是，由第三段图像即出水速度×出水时间=出水量，列方程得：=（24-a）×2．75，解得a=1．考点：一次函数的实际应用．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）证出△ABE≌△CDF即可求解；（2）证出平行，即可/【详解】（1）∵∴∠AEB=∠CFD∵平行四边形ABCD∴∠ABE=∠CDF,AB=CD∴△ABE≌△CDF∴AE=CF（2）∵∴AE∥CF∵AE=CF∴四边形是平行四边形本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.15、见解析.【解析】

通过列出表格，画出函数图象即可．【详解】列表：画出函数y=2x-1的图象.如图所示.此题考查一次函数的图象，解题关键在于掌握其性质定义.16、（1），；（2）x≤﹣1或0＜x≤1；（3）点M的坐标（2，﹣1）或（3+，）．【解析】

（1）先将点A代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据图象及两个函数的交点即可得出x的取值范围；（3）先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用S△ABM＝S△AOB和平移的相关知识分两种情况：向上平移或向下平移两种情况，分别求出平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即可．【详解】（1）把A（﹣1，2）代入反比例函数得，k＝﹣2∴反比例函数的关系式为，把B（1，a）代入得，，∴B（1，）把A（﹣1，2），B（1，）代入一次函数得，解得∴一次函数的关系式为：（2）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，结合图象可知，当，自变量x的取值范围为：x≤﹣1或0＜x≤1．（3）当时，∴与y轴的交点坐标为（0，），如图：∵S△ABM＝S△AOB∴根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即为所求的M点．将向下平移个单位过O点，关系式为：，解得，∵M在第四象限，∴M（2，﹣1），将向上平移个单位后直线的关系式为：，解得，∵M在第四象限，∴，综上所述，点M的坐标（2，﹣1）或，本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法及平移的相关知识和二元一次方程组的解法是解题的关键．17、（1），；（2）方案：乙运镇80吨，运镇10吨．甲110吨全部运镇．【解析】

（1）可设由乙运往A镇的化肥为x吨，则运往B镇的化肥为（90-x）吨，甲运往A镇的化肥为（80-x）吨，运往B镇的化肥为（110-80+x）吨，所以y=20（80-x）+25（110-80+x）+15x+24（90-x）．其中0≤x≤80；（2）由函数解析式可知，y随着x的增大而减少，所以当x=80时，y最小．因此即可解决问题．【详解】（1）设乙运镇吨，则运镇吨，甲运镇吨，运镇吨．可得：；（2）∵，∴随的增大而减少，当时，最低费用（元）．方案：乙运镇80吨，运镇10吨．甲110吨全部运镇．本题考查一次函数的应用.根据题意设出未知数并表示出其他的量是解题的关键.18、（1）y1=x+2，y2=x+20（2）见解析【解析】

(1)由图像可知，l1的函数为一次函数，则设y1=k1x+b1.由图象知，l1过点（0，2）、（500，17），能够得出l1的函数解析式.同理可以得出l2的函数解析式.(2)由图像可知l1、l2的图像交于一点，那么交点处白炽灯和节能灯的费用相同，即x+2=x+20，由此得出x=1000时费用相同；x＜1000时，使用白炽灯省钱；x＞1000时，使用节能灯省钱.【详解】（1）设l1的函数解析式为y1=k1x+b1，由图象知，l1过点（0，2）、（500，17），可得方程组，解得，故，l1的函数关系式为y1=x+2；设l2的函数解析式为y2=k2x+b2，由图象知，l2过点（0，20）、（500，26），可得方程组，解得，y2=x+20；（2）由题意得，x+2=x+20，解得x=1000，故，①当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相同；②当照明时间超过1000小时，使用节能灯省钱.③当照明时间在1000小时以内，使用白炽灯省钱.本题主要考查求一次函数的解析式、一次函数在实际生活中的应用.一次函数为中考重点考查内容，熟练掌握求一次函数解析式的方法是解决本题的关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

提取公因式a进行分解即可．【详解】解：a2−5a＝a（a−5）．故答案是：a（a−5）．本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．20、【解析】

首先根据勾股定理计算出木杆折断出到顶端的距离，在加上木杆折断出距离底面的长度，即可计算出木杆折断之前的高度.【详解】解：木杆折断出到顶端的距离为：木杆折断之前的高度为：故答案为：9本题主要考查勾股定理的应用，关键在于确定数字表示的距离.21、1【解析】

由题意可得这个正多边形的每个外角等于72°，然后根据多边形的外角和是360°解答即可．【详解】解：∵一个正多边形的每个内角等于108°，∴这个正多边形的每个外角等于72°，∴这个正多边形的边数为．故答案为：1．本题考查了正多边形的基本知识，属于基础题型，熟知正多边形的每个外角相等、多边形的外角和是360°是解此题的关键．22、150，1【解析】

根据众数和中位数的概念求解．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，1，1，160，165，则众数为：150，中位数为：1．故答案为：150，1此题考查中位数，众数，解题关键在于掌握其概念23、2或4.【解析】

过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，

∠CDF2=360°-150°-60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=6，

∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，

∴BF1=BF2=BF1+F1F2=2+2=4，

故BF的长为2或4.故答案为：2或4.本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y=-x-2；（2）m2+n2=12；（2）S△MON=2【解析】

（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）由点P与点Q关于x轴对称可得点Q的坐标，然后根据图象上点的坐标特征可求得mn=2，n=m+2，然后代入所求式子整理化简即得结果；（2）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，根据反比例函数系数k的几何意义，利用S△MON=S梯形MNHG+S△MOG－S△NOH=S梯形MNHG即可求得结果．【详解】解：（1）∵反比例函数y=的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是－1，点B的纵坐标是－1，∴A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），设一次函数的表达式为y=kx+b，把A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1）代入，得：，解得，∴这个一次函数的表达式为y=﹣x﹣2；（2）∵点P（m，n）与点Q关于x轴对称，∴Q（m，－n），∵点P（m，n）在反比例函数图象上，∴mn=2，∵点Q恰好落在一次函数的图象上，∴﹣n=﹣m﹣2，即n=m+2，∴m(m+2)=2，∴m2+2m=2，∴m2+n2=m2+(m+2)2=2m2+6m+9=2(m2+2m)+9=2×2+9=12；（2）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，∵M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=在第一象限图象上的两点，∴S△MOG=S△NOH==1，∵x2－x1=2，y1+y2=2，∴S△MON=S梯形MNHG+S△MOG－S△NOH=S梯形MNHG===2．本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、反比例函数系数k的几何意义以及坐标系中三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．25、（1）直线OD的解析式为y＝x；（2）存在．满足条件的点M的横坐标或，理由见解析；（3）S＝﹣（t﹣1）2+．【解析】

（1）理由待定系数法即可解决问题；

（2）如图，设M（m，m），则N（m，-m+1）．当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+1-m|=3，解方程即可；

（3）如图，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．根据S=S△OFQ-S△OEP=OF•FQ-OE•PG计算即可；【详解】（1）设