高中数学 第一章 1.5.3定积分的概念同步检测 新人教A版选修2-2

1.5.3定积分的概念一、基础过关1．下列命题不正确的是 ()A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃeq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃeq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2ʃeq\o\al(a,0)f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b]上连续且ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正2．定积分ʃeq\o\al(3,1)(－3)dx等于 ()A．－6 B．6C．－3 D．33．已知ʃeq\o\al(t,0)xdx＝2，则ʃeq\o\al(0,－t)xdx等于 ()A．0 B．2C．－1 D．－24．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ()A．ʃeq\o\al(4,0)(x2－4)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,0)x2－4dx))C．ʃeq\o\al(4,0)|x2－4|dxD．ʃeq\o\al(2,0)(x2－4)dx＋ʃeq\o\al(4,2)(x2－4)dx5．设a＝ʃeq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，b＝ʃeq\o\al(1,0)x2dx，c＝ʃeq\o\al(1,0)x3dx，则a，b，c的大小关系是 ()A．c>a>b B．a>b>cC．a＝b>c D．a>c>b6．若ʃeq\o\al(a,－a)|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为 ()A．6 B．56C．36 D．2016二、能力提升7．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.8．计算定积分ʃeq\o\al(1,－1)eq\r(4－4x2)dx＝________.9．设f(x)是连续函数，若ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝1，ʃeq\o\al(2,0)f(x)dx＝－1，则ʃeq\o\al(2,1)f(x)dx＝________.10．利用定积分的定义计算ʃeq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．11．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃeq\o\al(3,0)(2x＋1)dx；(2)ʃeq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx.12．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,1＋\f(1,n)21＋\f(2,n)2…1＋\f(n,n)2)等于 ()A．ʃeq\o\al(2,1)ln2xdx B．2ʃeq\o\al(2,1)lnxdxC．2ʃeq\o\al(2,1)ln(1＋x)dx D．ʃeq\o\al(2,1)ln2(1＋x)dx三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[－2，2,2x，x∈[2，π,cosx，x∈[π，2π]))，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．

答案1．D2．A3．D4．C5．B6．A7．－ʃeq\o\al(0,－π)sinxdx8．π9．－210．解令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间[1＋eq\f(i－1,n)，1＋eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、作和取ξi＝1＋eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，则Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(1＋eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[－(1＋eq\f(i,n))2＋2(1＋eq\f(i,n))]·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)[eq\f(2n2n＋14n＋1,6)－eq\f(nn＋12n＋1,6)]＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1＋2n,2)＝－eq\f(1,3)(2＋eq\f(1,n))(4＋eq\f(1,n))＋eq\f(1,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))＋3＋eq\f(1,n)，(3)取极限ʃeq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))[－eq\f(1,3)(2＋eq\f(1,n))(4＋eq\f(1,n))＋eq\f(1,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))＋3＋eq\f(1,n)]＝eq\f(2,3)，ʃeq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx＝eq\f(2,3)的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．11．解(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，ʃeq\o\al(3,0)(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝eq\f(1,2)(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃeq\o\al(3,0)(2x＋1)dx＝12.(2)由y＝eq\r(1－x2)可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知ʃeq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×12－eq\f(1,2)×1×1×sineq\f(2,3)π＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)，S矩形＝|AB|·|BC|＝2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴ʃeq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),4).12．B13．解由定积分的几何意义知ʃeq\o\al(2,－2)x3dx＝0，ʃeq\o\a