高中数学 第3章 2.1实际问题中导数的意义同步检测 北师大版选修2-2

§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义一、基础过关1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ()A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为 ()A.eq\f(1,2\r(5,23)) B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23) D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)4．运动员在某段时间内的平均速度为0，则运动员在这段时间内 ()A．可能静止 B．一定静止C．一定运动 D．以上都不对5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度 ()A．越来越慢 B．越来越快C．先慢后快 D．先快后慢6．一物体沿直线运动的方程为s(t)＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s) ()A．1s B．0sC．4s D．0s,1s,4s

7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1、eq\x\to(v)2、eq\x\to(v)3，则三者的大小关系为______________．二、能力提升8．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像为下图中的()9．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位：m，t的单位：s)，求t＝20，Δt＝0.1,0.01时的Δs与eq\f(Δs,Δt).10．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么(1)在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(2)若某种商品的p0＝5，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)三、探究与拓展11．日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率．

答案1．A2.B3.B4.A5.A6.D7.eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)18.D9．解Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋Δt)＋5(20＋Δt)2－10×20－5×202＝5(Δt)2＋210Δt.eq\f(Δs,Δt)＝5Δt＋210.∴当Δt＝0.1时，Δs＝5×0.12＋210×0.1＝21.05(m)，eq\f(Δs,Δt)＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．当Δt＝0.01时，Δs＝5×(0.01)2＋210×0.01＝2.1005(m)，eq\f(Δs,Δt)＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)，即当Δt＝0.1时，Δs＝21.05m，eq\f(Δs,Δt)＝210.5m/s.当Δt＝0.01时，Δs＝2.1005m，eq\f(Δs,Δt)＝210.05m/s.10．解(1)∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.根据基本初等函数导数公式，有p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05.∴p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．(2)当p0＝5时，p(t)＝5×(1＋5%)t＝5×1.05t.由导数公式，p′(t)＝(5×1.05t)′＝5×1.05t×ln1.05.∴p′(10)＝5×1.0510×ln1.05≈0.40(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．11．解c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5284,100－x)))′＝eq\f(5284,100－x2)，∴c′(90)＝eq\f(52