苏州市届初三年级上册期中复习《压轴题》专题训练含答案

初三数学期中复习《压轴题》专题训练(1)

1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是

(2)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,

连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.

2.如图，抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，且与y轴交于点C,点

D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；

(2)点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点P作PFLx轴于点EG为抛物线上一动点，M为x轴上一

动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M

的坐标.

12M

3.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x2+3x+3与x轴交于A,B两点(点A

在点B左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.

(1)判断AABC的形状，并说明理由；

(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一

动点，当4PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上

点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动

到点A处停止.当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

(3)如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为

点E,点A的对应点为点A-将△AOC绕点O顺时针旋转至△AiOCi的位置，点A,C

的对应点分别为点Ai,Ci,且点Ai恰好落在AC上，连接CiA-CiE\△ACiE是否能为

等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E，的坐标；若不能，请说明理由.

4.己知二次函数y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)当k=2时，求这个二次函数的顶点坐标；

(2)求证：关于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有两个不相等的实数根：

(3)如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P

1-

2丁2-2

是y轴负半轴上一点，且OP=1,直线AP交BC于点Q,求证：OAABAQ.

5.已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(aWO),与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y

轴相交于点C,经过点A的直线y=-V3x+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与aABC相似,

求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从

2屈

点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒3个单位

的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最

少？

6.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为"友好抛物线”，抛物线Ci：yi=-2x?+4x+2与C2：

U2=-x2+mx+n为"友好抛物线

(1)求抛物线C2的解析式.

(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ，x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的

最大值.

(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(-1,4),问在C2的对称轴上是否存在点

M,使线段MB绕点M逆时针旋转90。得到线段MBT且点B，恰好落在抛物线C2上？若存

在求出点M的坐标，不存在说明理由.

7.如图1,抛物线y=ax?+(a+3)x+3(a#0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,

在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物

线于点P，过点P作PMLAB于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数表达式;

(2)设△PMN的周长为Ci,ZXAEN的周长为C2,若02=5,求m的值;

(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为a((T<a

2

<90"),连接E'A、E'B,求EA+3EB的最小值.

8.如图1,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴相交于点C,

连结BC,点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1,交直线BC于点G,交x轴于点

E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF,直线1,F为垂足，当点P运动

到何处时，以P,C,F为顶点的三角形与AOBC相似？并求出此时点P的坐标；

(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC,PB,请问aPBC的

面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说

明理由.

9.如图,长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx

经过点B(1,4)和点E(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D在线段OC上，且BDLDE,BD=DE,求D点的坐标；

(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长为最小，并求△

BDM周长的最小值及此时点M的坐标；

(4)在条件(2)下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P,使得4PAD

的面积最大？若存在，请求出APAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明

理由.

10.如图，抛物线y=ax?+bx+c经过AABC的三个顶点，与y轴相交于(0,4),点A坐标

为(-1,2),点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上.

(1)求该抛物线的函数关系表达式.

(2)点F为线段AC上一动点，过F作FE，x轴，FG，y轴，垂足分别为E、G,当四边

形OEFG为正方形时，求出F点的坐标.

(3)将(2)中的正方形OEFG沿0C向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,

当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M,DG

所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使aDNIN是等腰三角形？若存

在，求t的值；若不存在请说明理由.

11.如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax?+4x+c

的图象交x轴于另一点B.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作NDLx轴交二次函数的图象于点D,求线段

ND长度的最大值；

(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，

在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标.

温馨提示：在直角坐标系中，若点P,Q的坐标分别为PCxi,yi),Q(x2,y2),

当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|xi-x2l求出；

当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y-y2l求出.

12.如图，在平面直角坐标系中，RtZ\ABC的三个顶点分别是A(-8,3),B(-4,0),

1_4

C(-4,3),ZABC=a°.抛物线y=2x?+bx+c经过点C,且对称轴为x=-5,并与y轴交

于点G.

(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)将RtAABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时

针旋转a。得到aDEF.若点F恰好落在抛物线上.

①求m的值；

②连接CG交x轴于点H,连接FG,过B作BP〃FG,交CG于点P,求证：PH=GH.

X

13.如图1,二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A(3,0),B(0,4)两点，动点P从A

出发，在线段AB上沿A9B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDLy于点

D,交抛物线于点C.设运动时间为t(秒).

(1)求二次函数y=-x2+bx+c的表达式；

5_

(2)连接BC,当t=6时，求4BCP的面积；

(3)如图2,动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿。玲A的方向以

1个单位长度的速度运动.当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ,PQ,

将ADP、沿直线PC折叠得到ADPE.在运动过程中，设4DPE和AOAB重合部分的面积

为S,直接写出S与t的函数关系及t的取值范围.

14.如图，在RtaABC中，ZB=90°,点。在边AB上，以点。为圆心，OA为半径的圆

经过点C,过点C作直线MN,使/BCM=2/A.

(1)判断直线MN与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若OA=4,ZBCM=60°,求图中阴影部分的面积.

15.已知：如图，AM为。O的切线，A为切点，过。O上一点B作BD_LAM于点D,BD

交。。于点C,OC平分/AOB.

(1)求/AOB的度数；

(2)当。O的半径为2cm,求CD的长.

B

o.

DM

16.如图，Z\ABC内接于。0,AC为。O的直径，PB是。O的切线，B为切点，OPJ_BC,

垂足为E,交。O于D,连接BD.

(1)求证：BD平分NPBC；

(2)若的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.

17.如图，在Rt/XABC中，/C=90。，点。在AB上，经过点A的。O与BC相切于点D,

与AC,AB分别相交于点E,F,连接AD与EF相交于点G.

(1)求证：AD平分/CAB；

(2)若OH_LAD于点H,FH平分NAFE,DG=1.

①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；

②求。O的半径.

18.如图，在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,O是AB边上的一点，以0A为半径的。0与边

BC相切于点E.

(1)若AC=5,BC=13,求。。的半径；

(2)过点E作弦EFLAB于M,连接AF,若NF=2NB,求证：四边形ACEF是菱形.

19.如图，AB是(DO的直径，点C、D在。O上，ZA=2ZBCD,点E在AB的延长线上,

ZAED=ZABC

(1)求证：DE与。O相切；

(2)若BF=2,DF=V10,求。0的半径.

20.某蛋糕产销公司A品牌产销线，20XX年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，

预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧

改革的启发，公司早在20XX年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足

市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线20XX年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，

预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递

增；这样，20XX年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线20XX

年销售获利恰好等于当初的投入资金数.

(1)求A品牌产销线2018年的销售量；

(2)求B品牌产销线20XX年平均每份获利增长的百分数.

21.为了经济发展的需要，某市20XX年投入科研经费500万元，20XX年投入科研经费720

万元.

(1)求2014至20XX年该市投入科研经费的年平均增长率；

(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划20XX年投入的科研经费比20XX年有所增

加，但年增长率不超过15%,假定该市计划20XX年投入的科研经费为a万元，请求出a

的取值范围.

22.在直角墙角AOB(OAXOB,且OA、OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙

角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2.

(1)求这地面矩形的长；

(2)有规格为0.80X0.80和1.00X100(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/

块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地

板砖费用较少？

23.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部

17

分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的画.

(1)求配色条纹的宽度；

(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯

的总造价.

24.某地区20XX年投入教育经费2900万元，20XX年投入教育经费3509万元.

(1)求20XX年至20XX年该地区投入教育经费的年平均增长率：

(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区

国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按(1)中教

育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由.

(参考数据：V1.21=1/，V1.44=1.2,V1.69-1.3,41.96=1.4)

25.某地20XX年为做好"精准扶贫"，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金

逐年增加，20XX年在20XX年的基础上增加投入资金1600万元.

(1)从20XX年到20XX年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)在20XX年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁

租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5

元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

k-1

26.已知在关于x的分式方-程--*------12①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②

中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数.

(1)求k的取值范围；

(2)当方程②有两个整数根xi、X2,k为整数，n=l时，求方程②的整数根；

(3)当方程②有两个实数根xi、X2,满足xi(xi-k)+x2(X2-k)=(xi-k)(X2-k),

且k为负整数时，试判断Im|W2是否成立？请说明理由.

27.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大

种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克

3.2元的单价对外批发销售.

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选

择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.

28.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政

策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决

定以每平方米4860元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率.

(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以

供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优

惠？

29.先阅读下列第(1)题的解答过程：

(1)己知a,B是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求a2+3)?2+4B的值.

解法1：Va,p是方程X2+2X-7=0的两个实数根，

Aa2+2a-7=0,p2+2p-7=0,且a+B=-2.

Aa2=7-2a,p2=7-2p.

.,.a2+3|32+4p=7-2a+3(7-2p)+4(3=28-2(a+0)=28-2X(-2)=32.

解法2：由求根公式得a=l+2&,p=-1-2V2.

Aa2+3P2+4P=(-I+2V2)2+3(-1-2V2)2+4(-1-2&)

=9-4V2+3(9+4V2)-4-872=32.

当a=-1-2&,p=-1+2&时,同理可得a2+3p2+4p=32.

解法3：由已知得a+0=-2,ap=-7.

.*.a2+p2=(a+p)2-2aB=18.

令a2+3f+4B=A,p2+3a2+4a=B.

AA+B=4(a2+p2)+4(a+p)=4X18+4X(-2)=64.①

A-B=2(p2-a2)+4(P-a)=2(p+a)(p-a)+4(P-a)=0.②

①+②，得2A=64,；.A=32.

请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻注一种方法解答下面的问题：

(2)已知xi,X2是方程X?-x-9=0的两个实数根，求代数式XI3+7X2?+3X2-66的值.

参考答案与解析

I.（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点，点

A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,-3）,动点P在抛物线上.

（1）b=-2,c=-3,点B的坐标为（-1,0）；（直接填写结果）

（2）是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为E

连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.

【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求

得点B的坐标；

（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与Pi,P2两点先求得AC的解析式，然后

可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；

（3）连接OD.先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求

得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.

fc=~3

【解答】解：（1）•••将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：l9+3b+c=0,解得：b=

-2,c=-3.

抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

令x2-2x-3=0,解得:xi--1,X2=3.

，点B的坐标为（-1,0）.

故答案为：-2；-3；（-1,0）.

（2）存在.

理由：如图所示：

①当NACPi=90°.

由（1）可知点A的坐标为（3,0）.

设AC的解析式为y=kx-3.

:将点A的坐标代入得3k-3=0,解得k=l,

直线AC的解析式为y=x-3.

直线CPi的解析式为y=-x-3.

,将y=-x-3与y=x?-2x-3联立解得xi=l,X2=0（舍去），

.•.点P1的坐标为（1,-4）.

②当NP2AC=90。时.

设AP2的解析式为y=~x+b.

•.•将x=3,y=0代入得：-3+b=0,解得b=3.

直线AP2的解析式为y=-x+3.

•.•将y=-x+3与y=x2-2x-3联立解得xi=-2,X2=3（舍去）,

.,.点P2的坐标为（-2,5）.

综上所述，P的坐标是（1,-4）或（-2,5）.

（3）如图2所示：连接OD.

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF.

根据垂线段最短，可得当ODLAC时，0D最短，即EF最短.

由（1）可知，在RtZiAOC中，

：OC=OA=3,ODJLAC,

；.D是AC的中点.

XVDF/70C,

.一而1。，3

_3_

...点P的纵坐标是~2.

2+VIU_3_2_VI5_3_

.•.当EF最短时，点P的坐标是：（一~2一,5）或（2,7）.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函

数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得PiC和P2A的解析式是解答问题

（2）的关键，求得点P的纵坐标是解答问题（3）的关键.

2.（2016・茂名）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1,0）,B（3,0）两点，且与y轴

交于点C,点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.

（1）求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点P作PF，x轴于点EG为抛物线上一动点，M为x轴上一

动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M

的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；

(2)连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式,

设出点P的坐标为(x,-2x+6),利用勾股定理表示出PC?和PE2,根据题意列出方程，解

方程求出x的值，计算求出点P的坐标；

(3)设点M的坐标为(a,0),表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程

即可.

【解答】解：(1)；抛物线y=-x2+bx+c经过A(-I,0),B(3,0)两点，

'-1-b+c=0

--9+3b+c=0

(b=2

解得，lc=3,

经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=-x?+2x+3；

(2)如图1,连接PC、PE,

b2

x=一二=-2X(-1)=],

当x=l时，y=4,

・••点D的坐标为(1,4),

设直线BD的解析式为：y=mx+n,

firi+n=4

则l3in+n=0,

firF-2

解得，ln=6,

直线BD的解析式为y=-2x+6,

设点P的坐标为(x,-2x+6),

则PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2,

VPC=PE,

.\x2+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2,

解得,x=2.

贝ijy=-2X2+6=2,

.•.点P的坐标为（2,2）；

（3）设点M的坐标为（a,0）,则点G的坐标为（a,-a2+2a+3）,

•.•以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，

FM=MG,即12-a|=|-a2+2a+31,

当2-a=-a2+2a+3时，

整理得,a2-3a-l=0»

3±而

解得，a=-2一,

当2-a=-（-a2+2a+3）时，

整理得，a2-a-5=0,

]±亚

解得，a=-2一,

...当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（-2—,0）,（

1+亚L历

0）,（2,0）,（2,0）.

1图1

【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质,

掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键.

1_2V3_

3.（2016•重庆）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x2+3x+3与x轴交于A,

B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.

（1）判断AABC的形状，并说明理由；

（2）经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一

动点，当4PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上

点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动

到点A处停止.当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

（3）如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为

点E，，点A的对应点为点A-将△AOC绕点O顺时针旋转至△AiOCi的位置，点A,C

的对应点分别为点Ai,Ci,且点Ai恰好落在AC上，连接CiA-CiE\△A，CiE是否能为

等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E，的坐标；若不能，请说明理由.

【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出AABC

是直角三角形；_

37315

（2）先求出SAPCD最大时，点P（一，T）,然后判断出所走的路径最短，即最短路径

的长为PM+MN+NA的长，计算即可；

（3）△A，CiE，是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可.

【解答】解：（1）AABC为直角三角形，

1_273,

当y=0时，即-3x2+3x+3=0,

Axi=-Vs,X2=SV3

AA(-V3,0),B(3V3,0),

.,.OA=V3,OB=3«,

当x=0时,y=3,

AC(0,3),

，OC=3,

根据勾股定理得，AC2-OB2+OC2-12,BC2=OB2+OC2-36,

.".AC2+BC2=48,

VAB2=[3V3-(-V3)]2=48,

二AC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，

(2)如图，

返

/.直线BC解析式为y=-3x+3,

过点P作PG〃y轴，

1_2A/3_

设P(a,-3a2+3a+3),

返

/.G(a,-3a+3),

PG=-3a2+V3a,

设点D的横坐标为XD,C点的横坐标为xc,_

1_返3\/3_W3_

SAPCD=2X(XD-xc)XPG=-6(a-2)2+8,

•；0<a<3代，

诉37315

工当旧2时，SaPCD最大，此时点P(2,4),

将点P向左平移F个单位至P',连接AP,交y轴于点N,过点N作MNJ_抛物线对称轴

于点M,

连接PM,点Q沿P玲M玲N玲A运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的

长，_

37315

.".P(2,4)

返

.,.P,(2,4),

•.•点A(-阮0),

而5_

直线AP'的解析式为y=飞-x+5,

5_

当x=0时，y=2,

5_

AN(0,2),

过点P'作PzH±x轴于点H,_

3731537^7

；.AH=2,P，H=4,AP'=4,

・'•点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=4+J5=4；

(3)在RtAAOC中，

0C

VtanZOAC=0A=V3,

Z.NOAC=60。，

VOA=OAi,

.••△OAAi为等边三角形，

ZAOA1=60°,

.•.ZBOCi=30",

VOCi=OC=3,

3733.

/.Ci(2,2),

;点A(-V3,o),E(娟,4),

；.AE=2W,

.•.A,E/=AE=2VT,

2M

•.•直线AE的解析式为y=3x+2,

设点E，(a,3a+2),

2」a

.,.A-(a-273,3-2)_

2aa3_7_773

22

.•.CIEA(a-2代)2+(3+2-2)=3a-3a+7,

3V32花3_7_3乖

CIA,2=(a-2V3-2)2+(3-2-2)2=3a2-3a+49,

①若CiA^CiE1,则CIA,2=CIE'2

1TVs7_3/

即：3a?-3a+7=3a2-3a+49,

373

/.a=2,

373

AE(2,5),

②若A，C1=A，E-

.,.A，C|2=A，E，2

7_35^

即：3a2-3a+49=28,

・・ai2，32=2

.'.E'(2,7+V13),或(2,7-V13),

③若E-A^ECi,

.,.EZA,2=EZCI2

7_7V3

BP：3a2-3a+7=28,

百+我我一体

；.ai=2,a2=2(舍)，

向+病

；.E'(2,3+V13),

而浦+屈/一倔

即，符合条件的点E，(2,5),(2,7+V13),或(2,7-V13),

向+我

(2,3+713).

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性

质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点.

4.(2016•株洲)已知二次函数y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)当k=5时，求这个二次函数的顶点坐标；

(2)求证：关于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有两个不相等的实数根；

(3)如图，该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P

【分析】(1)直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；

(2)利用根的判别式得出△=1,进而得出答案；

(3)根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA,AB的长，再利用两点之间距离求

出AQ的长，进而求出答案.

1_

【解答】解：(1)将k=5代入二次函数可求得，

w

y=x2-2x+4

1_

=(x-1)2-4,

故抛物线的顶点坐标为：(1,-彳)：

(2):一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=O,

/.A=b2-4ac=[-(2k+l)]2-4(k2+k)=l>0,

二关于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有两个不相等的实数根;

(3)由题意可得：点P的坐标为(0,-1),

则0=x2-(2k+l)x+k2+k

0=(x-k-1)(x-k),

故A(k,0),B(k+1,0),

当x=0,则y=k2+k,

故C(0,k2+k)

则AB=k+l-k=l,OA=k,

可得

11

ypA=px1,

yBC=-kx+k2+k,

当kx-1=-kx+k2+k,

k2

2

解得：x=k+k+1,

2

则代入原式可得：y=k+1,

则点Q坐标为k+1k+1

k2kk2

292

运用距离公式得：AQ2=(k+1)2+(k+1)2=k+1,

则OA2=k2,AB2=1,

1____1___1_1+k21

故0A2+AB2=k2+i=k2=AQ2,

1,1_1

则OA?AB2AQ2.

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和两点

之间距离求法等知识，正确表示出Q点坐标是解题关键.

5.(2016•随州)已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(aWO),与x轴从左至右依次相交于A、B

两点，与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-JEx+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与aABC相似,

求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从

点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒3个单位

的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最

【分析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接

着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；

(2)由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABCs/\BAP；

②△ABCSAPAB；

(3)作DM〃x轴交抛物线于M,作DN_Lx轴于N,作EFJ_DM于F,根据正切的定义求

出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可.

【解答】解：(1)：y=a(x+3)(x-1),

...点A的坐标为(-3,0)、点B两的坐标为(1,0),

•直线y=-V3x+b经过点A,

；.b=-3代，

y=-V3x-3V3,

当x=2时，y=-5a，

则点D的坐标为(2,-573),

•••点D在抛物线上，

；.a(2+3)(2-1)=-543,

解得，a=-V3,

则抛物线的解析式为y=-M(x+3)(x-1)=-x2-2V3X+3V3；

(2)如图1中，作PHLx轴于H,设点P坐标(,n),

当△BPAs/^ABC时，NBAC=NPBA,

QCPH

tanZBAC=tanZPBA,即OA二HB,

-3af

3,即『-@(m-1),

n二-a(in-1)

"谛+3)(111-1)解得111=-4或1(舍弃),

当m=-4时，n=5a,

VABPA^AABC,

ACAB

AB=PB,

.".AB2=AC«PB,

...42=79a2+9,^25a2+25,

V15V15

解得an，或-NT（舍弃），

V15

贝！Jn=5a=-3,

V15

，点P坐标（-4,-3）.

当△PBAs/\ABC时，ZCBA=ZPBA,

OCPH

tanZCBA=tanZPBA,即OB=HB,

-3aL-

.・.1=~nrt-1,

n=-3a（m-1）,

‘n=-3a（in-1）

.・.[n=a（ni+3）（m-1）,

解得m=-6或1（舍弃），

当m=-6时，n=21a,

VAPBA^AABC,

BCAB

/.BA=PB,即AB2=BC*PB,

42=Vl+9a2.V72+（-21a）2,

解得a=-7或7（不合题意舍弃），

JL

则点P坐标（-6,-7）,__

逗V7

综上所述，符合条件的点P的坐标（-4,-3）和（-6,-7）.

（3）如图2中，作DM〃x轴交抛物线于M,作DN_Lx轴于N,作EFJ_DM于F,

DN诉

则tan/DAN=AN=5=«,

图2

••.ZDAN=60°,

AZEDF=60°,_

EF273

.-.DE=sinZEDF=3EF,

DE

BE2M

；.Q的运动时间t=1+3=BE+EF,

...当BE和EF共线时，t最小，

则BE_LDM,此时点E坐标（1,-473）.

【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、

相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考

压轴题.

6.（2016•大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为"友好抛物线"，抛物线Ci：yi=-

2X2+4X+2与C2：U2=-x2+mx+n为“友好抛物线

（1）求抛物线C2的解析式.

（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQLx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的

最大值.

（3）设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为（-1,4）,问在C2的对称轴上是否存在点

M,使线段MB绕点M逆时针旋转90。得到线段MB-且点B，恰好落在抛物线C2上？若存

在求出点M的坐标，不存在说明理由.

【分析】（1）先求得yi顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值;

⑵设A（a,-a2+2a+3）.则OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ与a的函数关系

式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）连接BC,过点B，作BDLCM,垂足为D.接下来证明aBCM畛△MDB，，由全等三

角形的性质得到BC=MD,CM=B，D,设点M的坐标为（1,a）.则用含a的式子可表示出

点B，的坐标，将点B，的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标.

【解答】解：（1）；yi=-2x?+4x+2=--2（x-1）2+4,

抛物线Ci的顶点坐标为（1,4）.

；抛物线C1：与C2顶点相同，

-m

-1X2=1,_i+m+n=4.

解得：m=2,n=3.

抛物线C2的解析式为U2=-X2+2X+3.

（2）如图1所示：

设点A的坐标为(a,-a2+2a+3).

*.*AQ=-a2+2a+3,OQ=a,

3_21

/.AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-(a-2)2+4.

_321

・••当a=2时，AQ+OQ有最大值，最大值为4.

(3)如图2所示；连接BC,过点B，作BDJ_CM,垂足为D.

VB(-1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为x=l,

ABC!CM,BC=2.

NBMB'=90°,

・・・NBMC+/B'MD=90°.

VBZD±MC,

/.ZMB/D+ZB,MD=90°.

.*.ZMBZD=ZBMC.

'/MB，D=/BMC

<ZBCM=ZMDBZ

在△BCM和△MDB，中，IBM=MB',

/.BC=MD,CM=B,D.

设点M的坐标为(1,a).则B'D=CM=4-a,MD=CB=2.

・••点B，的坐标为(a-3,a-2).

・•・-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.

整理得：a2-7a-10=0.

解得a=2,或a=5.

当a=2时，M的坐标为(1,2),

当a=5时，M的坐标为(1,5).

综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时，B"恰好落在抛物线C2上.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标

公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析

式的关系，用含a的式子表示点B，的坐标是解题的关键.

7.(2016•济南)如图1,抛物线y=ax?+(a+3)x+3(a/0)与x轴交于点A(4,0),与y

轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于

点N,交抛物线于点P,过点P作PM_LAB于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数