概率论 随机变量及其分布

随第二章机量变其及分布第二章§2.1随机变量(RandomVariable)§2.2离散型随机变量(RandomVariableandDistribution)§2.3随机变量的分布(DistributionofRandomVariable)§2.4连续型随机变量及其概率密度(ProbabilityDensityofContinuousRandomVariable)§2.5随机变量函数的分布(DistributionforFunctionofRandomVariable)第一节随机变量随机变量概念的产生引入随机变量的意义随机变量的分类

一、随机变量概念的产生

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份广州的最高温度；每天从广州下火车的人数；一部电梯一年内出现故障的次数2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.

△试验结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果的例在投篮试验中，用{0}表示投篮未中，{1}表示罚篮命中，{3}表示三分线外远投命中，{2}表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。2.在掷硬币试验中，用{1}表示带国徽或人头的一面朝上，{0}表示另一面朝上，则随机试验的结果也可数值化。这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！◎

X(ω)随试验结果的不同而取不同的值。故,

在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。◎由于试验结果的出现具有一定的概率，所以“X(ω)取每个值或某个确定范围内的值”也有一定的概率。

称这种定义在样本空间Ω上的实值函数为随机变量，简记为r.v.(randomvariable)

。不同之处：（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.

称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变简记为r.v.(randomvariable)

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.

二、引入随机变量的意义

如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律三、随机变量的分类

通常分为两类：

如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它

这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.

解：分析例1

一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}四、小结在这一节中我们介绍了随机变量及其分类.

第二节离散型随机变量及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法三种常见分布小结布置作业

从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为:看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义定义1：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）

定义2：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布律解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,

a≥0,从中解得即例2设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.二、离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法X（2）图示法例3某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示为：这就是X的分布律.例4某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的分布律.解:显然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,为计算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是可见这就是求所需射击发数X的分布律.例5

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.解:依题意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数三、三种常见分布1、（0-1）分布：（也称两点分布）随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：(1)

0–1分布是否超标等等.凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗应用场合例：200件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，若规定则P{X=1}=196/200=0.98,

P{X=0}=4/200=0.02.故X服从参数为0.98的两点分布，即X～B(1,0.98)。看一个试验将一枚均匀骰子抛掷3次.X的分布律是：2.伯努利试验和二项分布令X表示3次中出现“4”点的次数

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

抽验产品：“是正品”，“是次品”

一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A

或.这样的试验E称为伯努利试验

.“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.

将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验

.“独立”是指各次试验的结果互不影响.

用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则易证：（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p)（2）例6

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.

解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~b(3,0.05)，若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.请注意：

伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中事件A出现的次数X的分布律.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，（3）各次试验相互独立.可以简单地说，

且P(A)=p

，；例7

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~b(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为事件A.每次试验,A出现的概率为0.8

P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1043.泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~π().例：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数

=3的泊松分布。求：

(1).一分钟内恰好收到3次寻呼的概率；

(2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率。.解:(1).P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240；

(2).P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3

≈0.7169.例8

一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}>0.95

的最小的m.进货数销售数求满足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分布表（附录3）得于是m取9,m=9件

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。二项分布与泊松分布的关系

定理1(泊松定理):对二项分布

B(n,p),当

n充分大,p又很小时,对任意固定的非负整数

k，有近似公式定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数

=np的泊松分布1

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等。例：某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率。解:

将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是,观察400辆出租车是否出现故障就是做400次贝努利试验。设

X

表示一天内出现故障的出租车数,则X

∼

B(400,0.02)。令

=np=400×0.02=8，于是,P{一天内没有出租车出现故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)≈(80/0!)e-8=0.0003355.,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？

例1

为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~b(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~b(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~b(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得即N8我们求满足的最小的N.

对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说

这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结练习题第三节随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义分布函数的性质小结布置作业一、分布函数的定义

如果将

X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数

F(x)的值就表示

X落在区间内的概率.设

X

是一个

r.v，称为

X

的分布函数

,记作

F

(x)

.(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

对任意实数x1<x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)请注意:

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.当

x<0时，{X

x}=，故

F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当

0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函数F(x).当

1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当

x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右连续下面我们从图形上来看一下.的分布函数图设离散型r.vX

的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的诸值xk

的概率之和.一般地则其分布函数二、分布函数的性质(1)

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)

右连续，即

(2)试说明F(x)能否是某个r.v

的分布函数.例2

设有函数

F(x)

解

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v

的分布函数.或者

解设F(x)

为X

的分布函数，当

x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当

x>a

时，F(x)=1

例3

在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X

表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.当

0xa

时，P(0Xx)=kx

(k为常数)由于

P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a故

这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.三、小结

在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数,以及分布函数的性质.练习题F(x)=P(X

x)故第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结布置作业

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位:mm)如下:2.4频率直方图129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。128155作频率直方图的步骤(1).

先确定作图区间[a,b];a=最小数据-ε/2，b=最大数据+ε/2，ε

是数据的精度。本例中

ε

=1,a=127.5,b=155.5。(2).确定数据分组数m=[1.87×(n−1)2/5+1]，组距d=(b−a)/m，子区间端点ti=a+id,i=0,1,···,m；(3).

计算落入各子区间内观测值频数

ni

=#{

xj

∈[ti−1,ti)，j=1,2,···,n}，频率fi=ni/n，i=1,2,···,m；子区间频数频率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04(4).以小区间

[ti-1，ti]为底，yi=fi/d

(i=1,2,

…,m)为高作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。

由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。

用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。则称X为连续型随机变量,称f(x)

为X的概率密度函数，简称为概率密度.一、连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数

,

对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),

连续型随机变量的分布函数在上连续二、概率密度的性质1o2of(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在点x

处连续,则有

故

X的密度f(x)

在x

这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:若不计高阶无穷小，有表示随机变量X

取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.

要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:当时得到(2)对连续型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出命题连续r.v.取任一常数的概率为零强调

概率为0的事件未必不发生概率为1的事件未必发生常用的计算：对于连续型r.v.

Xbxf(x)-10-550.020.040.060.08axf(x)-10-550.020.040.060.08a1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X

～U(a,b)三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作xf(x)abxF(x)ba

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；

例2

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，

X

～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位

为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.2.指数分布若r.vX具有概率密度为常数,则称X

服从参数为的指数分布.若X

服从参数为

的指数分布,则其分布函数为事实上,当时,当时,1xF(x)0xf(x)0例：设某电子管的使用寿命X(单位：小时)服从参数λ=0.0002的指数分布，求电子管使用寿命超过3000小时的概率。解：解

(1)补充

设一大型设备在任何长为

t

的时间内发生故障的次数N(t)~(

t),求相继两次故障的时间间隔T的概率分布;设备已正常运行８小时的情况下,再正常运行10小时的概率.例4(2)由指数分布的“无记忆性”3.正态分布

若连续型r.vX的概率密度为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.事实上,则有曲线关于轴对称；函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μ

σ为f(x)的两个拐点的横坐标；当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线

根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.

决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点

设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布的性质:事实上,

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1证Z的分布函数为则有

根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是

书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0

时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)

则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”

.~N(0,1)

时，标准正态分布的上分位点设若数满足条件则称点为标准正态分布的上分位点.解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子:

例

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?设车门高度为hcm,按设计要求因为X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.所以.

这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.

后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.四、小结练习题故第五节随机变量的函数的分布问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结布置作业一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=

的分布.比如，已知圆轴截面直径d

的分布，在比如，已知t=t0

时刻噪声电压V

的分布，求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.

设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面进行讨论.

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.二、离散型随机变量函数的分布解：当X

取值

1，2，5时，

Y取对应值

5，7，13，例1设X求

Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故解：当X

取值-1，0，1，2时，

Y取对应值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，

P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7，

P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例：设随机变量

X

有如下概率分布：求Y=(X–1)2

的概率分布。得

Y

的概率分布：一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同(不妨认为从小到大)的

y1,y2,…,yi

,….如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为X～则

Y=g(X)～如：X～则Y=X2

的分布律为：Y～三、连续型随机变量函数的分布解设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函数故注意到0<x<4时，

即8<y<16时，

此时Y=2X+8例3

设

X具有概率密度,求

Y=X2的概率密度.当

y>0时,

注意到Y=X20，故当y0时，.解设Y和X的分布函数分别为和

，若则Y=X2

的概率密度为：求导可得

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中