解析函数 初等函数

第二章解析函数

导数、解析函数的概念柯西-黎曼条件解析函数与调和函数的关系初等函数第一节解析函数基本概念

正确理解导数、解析函数的概念，以及可导与解析之间的关系掌握使用柯西-黎曼条件判定函数的解析性1、导数一、复变函数的导数和微分导数的分析定义：2、微分

导数反映“变化率”；微分体现“逼近”的思想。3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微可导可微；可微可导(2)可导连续上述结论与一元实函数一致。

对二元实函数：偏导数存在可微偏导数连续。4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则二、解析函数奇点(singularitypoint)1、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；3、闭区域上的解析函数在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注：关系(2)区域可导区域解析(1)点可导点解析解析函数的性质：(1)(2)(3)利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注解：三、函数解析的充要条件证明（必要性）：证明（充分性）：复变函数的解析条件注意:1和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；2柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件；3解析函数的导数有更简洁的形式：反例：u(x,y)、v(x,y)如下：推论：例1讨论下列函数的可导性和解析性：１.指数函数２.对数函数３.乘幂与幂函数４.三角函数与双曲函数５.反三角函数与反双曲函数第二节初等函数6.多值函数导引：幅角函数一、指数函数1）f(z)在复平面内解析;2）f'(z)=f(z);3）当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)。定义函数f(z)，满足下列三个条件：指数函数的基本性质

由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有

所以，

因此，

我们也重新得到欧拉公式：二、对数函数注解：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为的周期函数，所以对数函数是多值函数。即由于Argz为多值函数，所以对数函数w=f(z)为多值函数，并且每两个值相差的整数倍，

记作令，则所以

如果规定上式中的Argz取主值argz，则Lnz为

一单值函数，记作lnz，称为Lnz的主值；因此有特别地,当z=x>0时,Lnz的主值lnz=lnx就是实变数对数函数。

其余各值可由

表示；对于每一个固定的k，上式为一单值函数，

称为Lnz的一个分支；三种对数函数的联系与区别：函数单值与多值定义域注解lnx单所有正实数Lnz多所有非零复数一个单值分支为lnzlnz单所有非零复数z=x>0时，为lnx对数函数的基本性质对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿一般区域：由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；特点：1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。三、乘幂ab与幂函数

设a为不等于0的一个复数，b为任意一个复数，

定义乘幂ab为ebLna,即

ab=ebLna由于是多值的,因而

ab也是多值的。所以这时ab具有单一的值。（1）当b为整数时,由于（2）当b=p/q

(p和q为互质的整数,q>0)时,由于ab具有q个值,即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值。除上述情况外此而外,一般而论，ab具有无穷多个值幂函数的基本性质：

设区域G内，可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地za有一个单值连续分支。根据复合函数的求导法则，w=za这个单值连续分支在G内解析，并且其中za应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。

对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，za在G内是同一解析函数；四、三角函数和双曲函数现将其推广到自变数取复值的情形,定义当z为实数时,显然这与上式完全一致。将这两式相加与相减,分别得到由欧拉公式有现将其推广到自变数取复值的情形,定义当z为实数时,显然这与上式完全一致。为周期的周期函数,由于ez是以因此cosz和sinz以为周期,即三角函数的性质

（1）（2）cosz是偶函数,sinz是奇函数：（3）由指数函数的导数公式可以求得（4）从公式还易知普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立。由此得（5）由定义和指数函数的加法定理，成立：所以这两个公式对于计算cosz与sinz的值有用。当z为纯虚数iy时,有当y

时，|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大，因此，|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。其它复变数三角函数的定义如下：分别称为双曲余弦,正弦和正切函数。与三角函数密切相关的是双曲函数,定义不难证明chz和shz都是以为周期的函数，chz偶函数，shz为奇函数。他们都是复平面内的解析函数。及导数分别为：五、反三角函数与反双曲函数则称w为z的反余弦函数,记作反三角函数定义为三角函数的反函数,设由得二次方程数。两端取对数得它的根为其中应理解为双值函显然Arccosz是一个多值函数，

它的多值性正是cosw的偶性和周期性的反映。用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,

并且重复上述步骤,可以得到它们的表达式：

反双曲函数定义为双曲函数的反函数。用与推导它们都是多值函数。反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式：反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切多值函数导引：幅角函数：

因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：它本身不是一般意义下的初等函数。

w=Argz函数有无穷个不同的值：

其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz)

为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。

考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz

是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。

对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。沿负实轴的割线：上沿下沿研究下图的情形：一般区域：一般区域（含无穷远点）：结论：因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支：1、当L为负实轴时，幅角函数可以分解成无穷个单值连续分支；2、一般区域见下图：因此，对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支

Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简