1.5 函数的连续性

第一章函数极限与连续第五节函数的连续性第五节函数的连续性一.连续函数的概念1连续函数的概念

在现实生活中有许多量都是连续变化的,例如气温的变化,植物的生长,物体运动的路程，金属丝加热时长度的变化等等.这些现象反映在数学上就是函数的连续性.它是与函数的极限密切相关的另一个基本概念.1.增量定义1

设变量从它的初值变到终值,则终值与初值之差就叫做变量的增量,又叫做的改变量,记作.对于函数,当自变量从变到（自变量的改变为）时,函数有相应的改变量，记作，即.其几何意义如图11.

2、点连续如图定义2设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量在点的改变量趋于零时，函数相应的改变量也趋于零,即则称函数在点处连续.由定义2可以得出下面的结论:⑴若函数在点处连续,则在点处的极限一定存在;反之,在点处的极限存在,则函数在点处不一定连续.⑵若函数在点处连续,要求时函数的极限,只需求函数在点处的函数值即可.⑶当函数在点处连续时,有这个等式意味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换.这一结论给我们求极限带来了很大的方便.例2求例3求3、左连续、右连续若函数

y=f(x)在点

x0

处有：则分别称函数

y=f(x)在

x0

处是左连续或右连续.由此可知，函数

y=f(x)在x0处连续的充要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续．则称该函数在开区间

(a,b)

内连续.

若函数

y=f(x)在开区间（a,b)

内的各点处均连续，若函数

y=f(x)在闭区间

[a,b]

上连续，则理解为除在

(a,b)

内连续外，在左端点

a为右连续，在右端点

b为左连续.4、函数在区间上连续连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.

1.5.2初等函数的连续性定理1

初等函数在其定义区间内都是连续的.根据这条定理，我们在求初等函数在其定义区间内某点的极限时，只需求初等函数在该点的函数值即可.例4求下列极限：解

（1）因为是初等函数，其定义域为[]，而[]，所以注：1、定义区间是指包含在定义域内的区间.2.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;

3.初等函数求极限的方法——代入法.（2）因为是初等函数，其定义域为而所以

1.5.3函数间断点

定义3

设函数

y=f(x)在

x0的一个邻域有定义(在

x0可以没有定义)，

则称

x0是函数

y=f(x)的间断点.也称函数在该点间断.

如果函数

f(x)在点

x0处不连续，由函数在某点连续的定义可知，如果在点处有下列三种情形之一，则点为的一个间断点.（1）在点没有定义，即不存在；（2）不存在；（3）虽然存在，但例5函数在点处无定义，所以在点处间断，是函数的间断点.见图1—6

例6函数

在有定义，但，，所以不存在，因此在处不连续.见图1－7

例7函数在点无定义，所以在点间断，是函数的间断点.图1－8例8

函数

在时有定义，但

显然

，所以在不连续.在以上几个例子中,函数在指定点均不连续，但情况却各有不同.例9已知函数在处连续，求的值解：因为例10

已知函数试求(1)函数的定义域；(2)在处的极限；(3)指出在处是否连续.解：(1)显然该分段函数的定义域为；（2），，因为，所以不存在。

（3）因为，所以在处连续.

而不存在,所以是的间断点.

1.5.4闭区间上连续函数的最值定理定理2（最