《高等数学 函数》课件

函数高等数学一、函数的概念二、函数的特性五、小结与思考判断题三、函数的运算四、初等函数第一节函数因变量自变量定义1设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作数集D叫做这个函数的定义域函数值全体组成的数集当

时，称

为函数在

的函数值.称为函数的值域.一、函数的概念自变量因变量对应法则f1.函数的两要素:定义域与对应法则.约定

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.例如例如

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．2.单值函数与多值函数例如3、下面介绍一种与区间有关的概念邻域以x0为中心，长度为的开区间称为x0的邻域的实数

x0的邻域实际就是指其附近的点的集合简记作:记作函数的表示方法1解析式法：用含x,y的等式表示函数对应关系的方法像上面这类用含x的式子表示y的显函数像上面这类变量x与y的函数关系隐含在二元方程中（由二元方程确定）注：1显、隐函数的关系：有的隐函数可以化为显函数2隐函数的一般形式隐函数求定义域指出单调区间判断函数的奇偶性指出最小正周期简记作：高等数学中，在研究函数极限、函数局部性态等问题时常用到邻域的去心邻域挖去中心点的数集。2)列表法月份123456销售量(件)1001051101151111203图象法形象直观的表现变量间的关系所以定义域为解例题函数的定义域是使得式子有意义的所有的自变量取值。

例1

符号函数4.几个特殊的函数举例1-1xyo12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线例2

取整函数

y=[x][x]表示不超过

的最大整数.在

为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.有理数点无理数点•1xyo例3

狄利克雷函数如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式子表示称为分段函数,例1至例3均是分段函数.二、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1.函数的有界性2．函数的单调性:xyoxyo例如,函数

在

内是单调增加的.如图所示.例如,函数

在

内是单调减少的,在

内是单调增加的.如图所示.3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x偶函数的图形关于

轴对称.奇函数yxox-x奇函数的图形对称于原点.不满足上述性质的函数为非奇非偶函数.例如

与

是奇函数；

与

是偶函数；

与是非奇非偶函数.4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.例如函数

都是以

为周期的周期函数.函数

都是以为周期的周期函数.三角函数是典型的周期函数，它广泛地应用于生活中的各个领域，物理学中，经常研究一些周期性的运动。例如：振动、波动、蒸汽机的机械运动，交流电的强度和方向诸如此类的研究中，三角函数起着重要的作用。

并非所有的周期函数都有最小正周期.例如函数

(

为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数为有理数为无理数均为周期函数,但没有最小正周期.三、函数的运算对函数除了可以作加，减，乘，除四则运算之外，还有复合运算与求反函数的运算.定义2

设函数的定义域与的值域的交集非空，则是的复合函数.例如可看作由复合而成.注：不是任何函数都可以复合成一个函数。例4

设

求解由于

的值域的定义域

为显然故可进行复合运算，即例5

设

求解显然给出的函数符合复合的条件，因此例6

设

求的定义域

为是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而例7

已知

求解因为故例8

函数

是由哪些函数复合而成的.解显然，是由复合而成.定义3设函数的值域为，如果对于每一个，根据关系能确定唯一的，则称得到的新函数为的反函数.亦称与互为反函数.函数的反函数常记为

相对于反函数

来说，原来的函数称为直接函数.它们图形的关系如下所示.DW

直接函数与反函数的图形关于直线

对称.

函数在上没有反函数，但在及上分别有反函数及.1.基本初等函数（1）常数函数如下图所示.1.2、初等函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数对数函数与指数函数互为反函数.5.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数它们均为周期函数，和有界.其余三角函数无界.为奇函数，为偶函数.6.反三角函数

是单调递增的,是单调递减的，它们均为有界函数.

幂函数：对数函数：自然对数三角函数：指数函数：反三角函数：以上为基本初等函数2.初等函数

由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数