离散傅里叶变换与z变换的关系

由序列z变换表达序列DFT

由序列DFT表达序列z变换离散傅里叶变换与z变换的关系已知有限长序列x[k]，k=0,1,2,…,N-1，存在三种形式变换：1.z变换：收敛域(ROC)|z|>02.DTFT变换：3.DFT变换：问题提出DTFTX(ej

)DFTX[m]ZTX(z)单位圆上均匀抽样?x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样序列DFT与z变换的关系][mX¾¾®¾IDFT][kx¾¾¾®¾变换Z)(zX(内插公式)由序列DFT表示序列z变换已知DFT求ZT=？

两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积的步骤长序列和短序列的线性卷积2.4利用DFT计算序列线性卷积*问题提出：实际需要：LTI系统响应y[k]=x[k]

h[k]可否利用DFT计算线性卷积？两个有限长序列的线性卷积线性卷积：有限长序列的线性卷积与循环卷积*x1[k]的长度为N1x2[k]的长度为N2能否用循环卷积代替有长序列的线性卷积？为什么不同？x1[k]的长度为N1x2[k]的长度为N2在线性卷积中，yl[k]

不为零长度是多少？yl[k]

不为零长度是N1+N2-1N点循环卷积：NN不足的部分补零x1[k]的长度为N1x2[k]的长度为N2讨论循环卷积和线性卷积之间的关系：对x1[k]和x2[k]补零，使其长度均为N点对x2[k]周期延拓：循环卷积：代入x2[k]周期延拓交换求和次序例如:x1[k]x2[k]kkNx1[k]的长度为3x2[k]的长度为5yl[k]

不为零长度是7yl[k]=x1[k]*x2[k]k5k6kyl[k]=x1[k]*x2[k]k7=yl[k]k8=yl[k]k例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},计算解:x1[k]和x2[k]的4点循环卷积y[k]为(1)x1[k]和x2[k]的线性卷积(2)x1[k]和x2[k]的4点循环卷积(3)x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积解:(1)x1[k]和x2[k]的线性卷积(2)x1[k]和x2[k]的4点循环卷积(3)x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积x1[k]和x2[k]的5点循环卷积y5[k]为y5[k]={2，2，2，2，1}x1[k]和x2[k]的6点循环卷积y6[k]为y6[k]={1，2，2，2，1，1}x1[k]和x2[k]的7点循环卷积y7[k]为y7[k]={1，2，2，2，1，1，0}例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},计算解:(1)x1[k]和x2[k]的线性卷积(2)x1[k]和x2[k]的4点循环卷积(3)x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积x1[k]和x2[k]6点循环卷积y6[k]={1，2，2，2，1，1}x1[k]和x2[k]线性卷积例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},计算线性卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示利用DFT计算序列线性卷积的步骤

若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。小结：线性卷积求解方法时域直接求解

补N-N1个零x[k]N点DFT补N-N2个零h[k]N点DFTN点IDFTy[k]=x[k]*h[k]z变换法DFT法N的长度等于多少？%CalculateLinearConvolutionbyDFTx=[1201];h=[2211];%determinethelengthforzeropaddingL=length(x)+length(h)-1;%ComputetheDFTsbyzero-paddingXE=fft(x,L);HE=fft(h,L);%DeterminetheIDFToftheproducty1=ifft(XE.*HE);例：利用MATLAB由DFT计算x[k]*h[k]。

x[k]={1,2,0,1},h[k]={2,2,1,1}直接计算与由DFT间接计算结果比较若x1[k]为M

点序列,x2[k]为L

点序列，L>Mx1[k]L

x2[k]中哪些点不是线性卷积的点?问题讨论*0

k

M-2不是线性卷积的结果，即前(M-1)个点与线性卷积不一样。线性卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示

x1[k]L

x2[k]k=0~M-2,前M-1个点不是线性卷积的点k=M-1~L-1,L-M+1个点与线性卷积的点对应线性卷积L~L+M-2后M-1点没有计算

则L点循环卷积结论若x1[k]为M

点序列,x2[k]为L

点序列，L>M图示长序列和短序列的线性卷积

直接利用DFT计算的缺点：(1)信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多(2)内存要求大(3)算法效率不高

解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）将长序列x[k]分为若干段长度为L的序列其中长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）y0[k]的非零范围y1[k-L]的非零范围

序列y0[k],y1[k]的重叠部分重叠的点数L+M-2-L+1=M-1

依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。重叠相加法分段卷积举例重叠相加法分段卷积举例fftfilt(h,x,n)h:FIRfilterx:inputsequencen

为DFT点数，一般取2的整数次幂利用MATLAB实现分段卷积利用MATLAB实现分段卷积%GeneratethenoisesequenceN=64;d=rand(N,1)-0.5;%Generatetheuncorruptedsequenceandaddnoiseform=1:1:N,s(m)=2*(m-1)*((0.9)^(m-1));x(m)=s(m)+d(m);end%thelengthofmovingaveragefilterM=4;%Generatethemovingaveragefiltercoefficientsh=ones(1,M)/M;%Performtheoverlap-addfilteringoperationy=fftfilt(h,x,8);4点滑动平均系统去噪结果长序列和短序列的线性卷积2.重叠保留法（overlapsave）

方法：

(1)

将x[k]长序列分段，每段长度为L；

(2)

各段序列xn[k]与

M点短序列h[k]循环卷积；

(3)

从各段循环卷积中提取线性卷积结果。前M-1个点不是线性卷积的点因yn[k]=xn[k]Lh[k]故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。长序列和短序列的线性卷积2.重叠保留法（overlapsave）--x[k(M1)]M-1--L(M1)L-1x0[k]x1[k]2L-Mk第一段前需补M-1个零长序列和短序列的线性卷积2.重叠保留法（overlapsave）记

yn[k]=xn[k]Lh[k]长序列和短序列的线性卷积2.重叠保留法（overlapsave）y0[k]中的[M-1,L-1]点对应于线性卷积

x[k]*h[k]中的[0,L-M]点y1[k]中的[M-1,L-1]点对应于线性卷积x[k]*h[k]中的[L-(M-1),

2L-M-(M-1)]点y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}解:

重叠相加法x1[k]={2,3,4,5,6}x2[k]={7,8,9,10,11}x3[k]={12,13,14}y1[k]={2,7,12,16,20,17,6}y2[k]={7,22,32,36,40,32,11}y3[k]={12,37,52,41,14}例:

已知序列x[k]=k+2,0

k

12,h[k]={1,2,1}试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积,取L=5。解:

重叠保留法y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}x1[k]={0,0,2,3,4}x2[k]={3,4,5,6,7}x3[k]={6,7,8,9,10}y1[k]=x1[k]

h[k]={11,4,2,7,12}x4[k]={9,10,11,12,13}y2[k]=x2[k]

h[k]={23,17,16,20,24}y3[k]=x3[k]

h[k]={35,29,28,32,