江苏省2024-2025学年七年级上学期数学期中专题复习有理数压轴专题训练

2024-2025学年度江苏省七年级上学期期中专题复习有理数压轴专题训练1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（

）A．99 B．100 C．101 D．1022．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二进制数与十进制数之间的换算关系如下表所示：十进制数二进制数101000观察上表中二进制数分别为位数、位数、位数时，对应的十进制数．当二进制数为位数时，对应的十进制数中的最大数为．4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为．5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是．①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或；②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3；③已知时，那么的最大值为7，最小值为；④若且，则式子的值为；⑤如果定义，当，，时，的值为．6．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．【知识储备】点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．【初步运用】（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______；（2）已知数轴上某个点表示的数为．①若，则______；②若，则______；【深入探究】（3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c．①______；②若，则点表示的数为______；③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______．7．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？【问题探究】（1）观察分析（特殊）：①当，时，A，B之间的距离；②当，时，A，B之间的距离______；③当，时，A，B之间的距离______．（2）一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______；【问题解决】（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；【问题拓展】（4）拓展：①若，则______．②若，则______．③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______．8．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度．(2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是秒，定值是单位长度．9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．

(1)点A与原点O的距离是．(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是（用含t的代数式表示）．(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值．10．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．

思考解答下列问题:(1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐；(2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，

此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示的点对齐；(3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数．11．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换

(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______．A、

B、C、

D、②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合；②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______．(3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数．12．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足.(1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.13．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动．(1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）；(2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）；(3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数．14．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题：(1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是．(2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是，点F表示的数是；(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？15．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：(1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_______，B：_______；(2)在数轴上与点A的距离为3的点所表示的数是_______；(3)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数_______表示的点重合；(4)若数轴上M、N两点之间的距离为18（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：_______，N：_______．16．（23-24七年级上·江苏南京·期中）“距离”再探究．【概念理解】（1）数轴上，点A、B表示的数分别是、2，则A、B两点之间的距离可以表示为．A．

B．

C．

D．【数学思考】（2）数轴上，点C、D、E表示的数分别是2、4、10．P是数轴上的动点，设点P表示的数是x．（Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和的最小值为；（Ⅱ）填写表格，并回答问题：x…3456…点P到C、D、E三点的距离之和…①②910…当时，取最小值．【实际应用】（3）如图，在一条笔直的道路l上分别有A、B、C、D四个停车场．为满足充电需要，在道路l上修建一个充电站P．已知A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，其中m为正整数．请问充电站P建在道路l上何处时，四个停车场中的所有电动车到充电站P的距离之和最小？并简要说明理由．（在停车场内移动的距离忽略不计）．17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）定义“*”运算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．据此回答下列问题：(1)计算：①；②；(2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）；(3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：）18．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示）（）当时，则的值为_____；（）当时，则的值为______；（）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____．应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．19．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(1)______；______；(2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______；(3)若，则的值是______；(4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______．20．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为；(2)若表示一个数，且，则；若表示一个数，且，则；(3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示．①若以为原点，写出点所对应的数，，并计算的值．②若是原点，且，求的值．21．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）操作发现．

操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或；操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作：；如：；(1)利用图3、图4，直接填空：；；(2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，．①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值．22．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______．A、

B、C、

D、②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合；②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________．23．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3．(1)和5关于4的“友谊数”为_________；(2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值；(3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为；①的最大值为_________；②的最小值为_________．24．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，．当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边；②如图3，点A、B都在原点的左边；③如图4，点A、B在原点的两边；综上，数轴上A、B两点之间的距离．(1)回答下列问题：①数轴上表示1和的两点之间的距离是．②数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是．(2)探索规律：式子有最（填“大”或“小”）值是．(3)规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是米．(4)知识迁移式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由．25．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）26．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．(1)直接写出计算结果，_____，_____；(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是_____．（填序号）①对于任何正整数n，都有；②；③；④对于任何正整数n，都有．(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）(4)请利用（3）问的推导公式计算：．27．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．(1)利用此结论，回答以下问题：①数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______．②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．(2)探索规律：①当有最小值是______．②当有最小值是______．③当有最小值是______．(3)规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米(4)知识迁移最大值是______，最小值是______．28．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【总结提炼】小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则．【解决问题】（1）若，则．（2）若，则．【拓展提升】（3）若，计算：_________．29．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是．(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为．(3)数轴上点A用数a表示，①若，那么a的值是．②当时，数a的取值范围是，这样的整数a有个③有最小值，最小值是．30．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为．如表示数的点与表示数的点的距离为利用数形结合思想回答下列问题：如图，在数轴上有一根铁丝，铁丝的左端点对应的数为，右端点对应的数为．

(1)铁丝的长为_____．(2)现将铁丝向右移动，此时点对应的数为，点对应的数为，若铁丝向右移动1个单位长度，求的值；若，请计算铁丝向右移动的距离．是否有最小值?如果有，请直接写出该最小值；如果没有，请说明原因．(3)结论推广：数轴上有、、（）三个数，则____[填“”、“”、“”（大于或等于）、或＂”（小于或等于）31．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．

(1)如图1，①若，则的值__________；②若点在线段上，化简__________；③由图可知，的最小值是__________．(2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________．(3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．

32．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为线段的“n倍点”．例如，如图1所示：当点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0，有，则称点C为线段的“1倍点”．请根据上述规定回答下列问题：已知图2中，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为x．(1)当（表示这个数介于与1之间，包含和1）时，点C（填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段的“1倍点”；(2)若点C为线段的“n倍点”，且，求n的值；(3)若点D是线段的“2倍点”，则点D表示的数为；(4)若点E在数轴上表示的数为t，点F表示的数为，要使线段上始终存在线段的“3倍点”，直接写出t介于哪两个数之间．33．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．

(1)，．(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．34．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足．(1)，，；(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则，，；（用含t的代数式表示）(3)在（2）的条件下，若的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围参考答案1．C【详解】解：设点A所表示的数为a，则第1次爬行后的点所表示的数为，第2次爬行后的点所表示的数为，第3次爬行后的点所表示的数为，第4次爬行后的点所表示的数为，…，∴第2n次爬行后的点所表示的数为，故第2022次爬行后的点所表示的数为，则第2023次爬行后的点所表示的数为．∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处，∴，则，即点A所表示的数为．∵，∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度．∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处，第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处，第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处，……，∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且，即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为，∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数．∵，∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101．故选：C．2．B【详解】解：，，均为整数，且，，或，，①当，时，，，；②当，时，，；综上，的值为2．故选：B3．【详解】解：当二进制数为位数时，表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是，能表示十进制是：，故答案为：．4．【详解】解：∵，∴，，，∴，∵，∴a，b，c中负因数的个数为奇数个∴当时，x的最大值为，当时，x的最小值为，∴x的最大值与最小值的成绩为，故答案为：．5．①③④⑤【详解】解：①已知，，是非零的有理数，当时，则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时；二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确；②，，，，则，由于时，当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在；、、中只有一个负数，令，，，原式，故②错误；③当时，分两种情况：当时，，当时，，故时的最大值为7，最小值为，故③正确；④由且，、互为相反数，，，不妨，，则则式子，故④正确；⑤当时，、异号，又，负数的绝对值大于正数的绝对值，又，，，，根据，b}，，，故⑤正确．故答案为：①③④⑤6．（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为，故答案为：7；（2）①若，则或，解得或，故答案为：或；②若，则（舍去）或，解得，故答案为：1；（3）①由数轴知，，∴，，∴；故答案为：6；②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12；③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴，故，当时，，则，故，∵最小，故时，取值最小；当时，，，∴，即；当时，，，∴（不成立，舍去）；当时，，，∴，即，综上，，或，当时，、两点之间的距离为；当时，、两点之间的距离为；∴、两点之间的距离为3或5．故答案为：3或5．7．（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0【详解】（1）②；③；故答案为：7，3．（2）一般结论：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为，故答案为：．（3）∵∴，解得：或；（4）①，即，解得：；故答案为：4．②若，当时，，解得；当时，，方程无解；当时，，解得；故答案为：8或0．③由题可知，，又∵，∴，，即，，∴代数式的最大值是，最小值是，故答案为：7，0．8．(1)(2)4或8(3)，6【详解】（1）解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得，，∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度，故答案为：；（2）解：①当相遇前相距8个单位长度有，（秒），②当相遇后相距8个单位长度有，（秒）答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度；故答案为：4或8；（3）解：∵，当P在之间时，是定值4，（秒），此时（单位长度），故这个时间是秒，定值是单位长度．故答案为：，6；9．(1)16(2)(3)(4)【详解】（1）解：点A表示的数是，，故答案为：16．（2）解：∵点B表示的数是6，，，，故答案为：.（3）解：当点P与点C重合时，则，解得，当点P从点B向点C运动时，，点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧，，由，得，解得：．（4）解：当点Q与点D重合时，则，解得，当时，点P表示的数是，即，，当，且时，则，解得：；当，且时，则，解得：；当，且时，由（3）得；当，且时，则，解得：，不符合题意，舍去；当，且时，由（3）得，，解得，不符合题意，舍去；当，且时，则，解得：，不符合题意，舍去，综上所述，t的值是．10．(1)；(2)，或；(3)或．【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐，∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐，故答案为：；（2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐；∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示：的点对齐，的点对齐，故答案为；；或；（3）由题意得：当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为，∴与表示的点的距离为，则点表示的数；当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为，∴与表示的点的距离为，则点表示的数，综上可知：点表示的数为或．11．(1)①D；②(2)①；②，1013(3)点表示的数或【详解】（1）解：①根据移动过程得：，故选：D；②向左为，向右为，机器人跳动过程可以用算式表示为：，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：，故答案为：；（2）解：①表示的点与表示3的点重合，折痕处的点表示的数为，与表示2023的点重合的点为：，表示2023的点与表示的点重合，故答案为：；②由①得折痕处的点表示的数为1，数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合，两点到1的距离都是，点表示，点表示，故答案为：，1013；（3）解：当点在的左侧时，，点表示的数为8，表示的数为，以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，点表示的数为：，当点在的右侧时，，点表示的数为8，表示的数为，以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，点表示的数为：，综上所述：点表示的数或．12．(1)；；(2)秒或秒(3)秒或秒(4)【详解】（1）解：∵∴，，∴，，∵甲、乙两动车长度相等∴（米）（米）故答案为：100，1400，1600；（2）解：（米），（米）（秒）（秒）答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米．（3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时；（米）（米）（米）（秒）当点M在点C右侧时；（米）（米）（米）（秒）答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米．（4）解：存在；乘客M到达点B的时间为：（秒）乘客M到达点C的时间为：（秒）乘客N到达点C的时间为：（秒）乘客N到达点B的时间为：（秒），（秒）故的值为：；13．(1)，无理数(2)(3)或【详解】（1）解：圆形纸片的直径为，因此周长为，滚动圈的距离为，而，所以，即，是无理数，故答案为：，无理数；（2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，所以有，所以，答：、之间的距离为；（3）由（2）得，，由于圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点C滚动圈，因此有①当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为，所以、之间的距离为，又因为点表示的数为，所以点D所表示的数为，②当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为，所以、之间的距离为，又因为点表示的数为，所以点所表示的数为，答：点表示的数为或．14．(1)，，，(2)，6(3)这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位【详解】（1）数轴上若点M表示的数是，M、N两点的距离为1.5，则点N表示的数是，或；数轴上若点M表示的数是4，M、N两点的距离为1.5，则点N表示的数是，或；综上所述，满足条件的点N所表示的数是，，，，故答案为：，，，；（2）根据题意折叠点：2，E：，F：，故答案为：，6；（3），（秒），，，答：这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．15．(1)1，；(2)或4；(3)0(4)，7【详解】（1）解：数轴上可以看出A：1，B：；故答案为：1，；（2）解：利用与点A的距离为3的点有两个，即一个向左，一个向右，∴这些点表示的数为：，，故答案为：或4；（3）解：∵经过折叠，A点与表示的点重合，∴两点的中点是，沿折叠，B点与数0重合，故答案为：0；（4）解：由题意可得，数轴上M、N两点之间的距离为18，且M、N两点沿折叠可重合，∴M、N两点与表示的点之间距离为，又∵M在N的左侧，∴M、N两点表示的数分别是：，，故答案为：，7．16．（1）D；（2）2；9；8；4；（3）充电站建在停车场，理由见解析【详解】（1）A、B两点之间的距离可以表示为，故选：D；（2）（Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和为：，当时，，当时，，当时，，点P到C、D两点的距离之和的最小值为2，（Ⅱ）点P到C、D、E三点的距离之和为：，当时，，当时，，当时，，当时，，即有，当时，，即有，且当时，，当时，，即当时，取最小值，最小值为8．故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅱ）9，8，4；（3）充电站建在停车场．理由如下：A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，∵m为正整数，∴，，如图，先只考虑停车场A与停车场D，将停车场A的车辆数分为6辆和辆两个部分，车辆数为6辆的停车场A与停车场D之间建充电站，根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场D的共计12辆电动车到充电站P的距离之和最小；现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B、停车场C之间建充电站的问题，如图，同理：再将余下停车场A的车辆数分为辆和辆两个部分，车辆数为辆的停车场A与停车场C之间建充电站，根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场C的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小；现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B之间建充电站的问题，如图，∵，∴再将停车场B的车辆数分为辆和1辆两个部分，车辆数为辆的停车场A与车辆数为辆的停车场B之间建充电站，根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场B的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小；此时还剩下B停车场的1辆车，当充电站建在停车场B时，B停车场剩下的1辆车到充电站的距离为0，即距离最小，充电站的建设范围由缩小至，再缩小至，最后确定在点B，综上：充电站建在停车场．17．(1)①；②17；(2)两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0；(3)，或，或，或．【详解】（1）解：①；故答案为：；②；故答案为：；（2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0．（3）解：存在，∵，∴与异号，，∵m，n是整数，∴，或，或，或，∴，或，或，或．18．理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆．【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：；（）∵，∴或，∴或x=1，故答案为：或；（）当时，，解得；当时，，此时方程无解；当时，，解得；综上，的值为或，故答案为：或；（）∵，∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，；应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案：由图可得，调出的最少车辆数为辆．19．(1)2，6(2)10(3)，2(4)12，10【详解】（1），，故答案为：2；6；（2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间，∴，故答案为：10；（3）∵表示x到1和到的距离之和为5，∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为，∴当x在1右边时，x到1和到的距离之和为，∴当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为，∴符合题意的整数x为，2，故答案为：，2；（4）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，∴综上，当时，的值最小，最小为12，∴满足最小值时整数x的和是，故答案为：12；10；20．(1)，；(2)；或；(3)①，1000；②或．【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为，故答案为：，；（2）解：∵，∴；当时，，∴；当时，，该种情况不存在；当时，，∴；综上，或；故答案为：；或；（3）解：①∵为原点，，，∴所对应的数为，所对应的数为1000，故答案为：，1000；②∵是原点，且，∴点所对应的数为或，当点所对应的数为，即时，，，∴；当点所对应的数为，即时，，，∴；综上，的值为或．21．(1)(2)①是，；②的值为2或4【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；

故答案为：；（2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4；理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，∴点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；∵，∴A为的中点，∴，即；∵，∴的中点是同一点，而的中点表示的数为，∴，∴；∴；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理得：；∵，∴的中点是同一点，而的中点表示的数为，∴，∴；∴；即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．②∵点C表示的数是，∴由①得，∴；∵点B表示的数为，∴由题意得：，即，∴或，解得：或．故的值为2或4．22．(1)①D；②1012(2)①；②，1013【详解】（1）解：①根据移动过程可得，故选：D．②机器人跳动过程可以用算式表示为：当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012故答案为：1012．（2）解：①表示的点与表示3的点重合折叠中点表示的数为表示2024的点与表示的点重合故答案为：．②折叠中点表示的数为1，点所表示的数为：点B所表示的数为：故答案为：，1013；23．(1)6(2)或(3)①3；②5050【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为：；（2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4，∴，∴，∴，解得：或；（3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1，∴，∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，∴，，∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3；②由题意可知：，∴，∴当，均在上时，取最小值，且最小值；，∵∴当，均在上时，的最小值为；同理，，的最小值为；，的最小值；，的最小值；∴的最小值为：．24．(1)①6；②(2)小，2(3)C，18(4)最小值，最大值9，理由见解析【详解】（1）解：①；故答案为：6；②；故答案为：；（2）解：当时，；当时，；当时，；∴有最小值2；故答案为：小，2；（3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，由（2）知，当时，，有最小值18，∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米，故答案为：C，18；（4）解：有最小值，最大值9，理由：当时，；当时，；∴；当时，；∴；故有最小值，最大值9．25．(1)，1，(2)或3(3)【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．（2），∴，，，，，的正负性可能为：①当为正数，，为负数时：原式；②当为正数，，为负数时，原式；③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．（3）个正数，负数的个数为，．故答案为：．26．(1)2，；(2)③(3)（n为正整数，）(4)6【详解】（1）解：；；故答案为：2，（2）①对于任何正整数n，当为奇数时：；故①错误；②，∴；故②错误；③，故③正确；④对于任何正整数n，为偶数，都有，故④错误；故答案为：③；（3）；（4）．27．(1)①；②；或(2)①②③(3)；(4)；【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：，故答案为：；．数轴上表示和的两点和之间的距离是：，当，则，或，由解得：，由解得：，的值为：或，故答案为：；或．（2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离；的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离；∴的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之和，根据“两点之间，线段最短”可知：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为，即有最小值是．故答案为：．②∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和，根据“两点之间，线段最短”可知：当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为，即有最小值是，③∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和，根据“两点之间，线段最短”可知：当表示数的点在