专题04因式定理与综合除法（原卷版）

专题04因式定理与综合除法考点点拨1、如果多项式f（x）除以多项式g（x）所得的商式为，余式为r（x），则有f（x）＝g（x）•q（x）+r（x）其中r（x）的次数小于g（x）的次数，或者r（x）为常数，当r（x）＝0时，我们称f（x）能被g（x）整除．2、余数定理：多项式f（x）除以x﹣a所得的余数等于f（a）．3、因式定理：（1）如果x﹣a是多项式f（x）的一个因式，那么f（a）＝0，反之亦然．（2）如果整系数多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0有因式px﹣q（p、q是互质整数），那么p是高次项系数an的约数，q是常数项a0的约数．4、综合除法：多项式f（x）除以x﹣a可以采用综合除法简化运算．5、待定系数法的常见步骤：（1）先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，这通常需要知道问题的预定结构，否则恒等式列不出来，其中待定系数是整式中的系数；（2）根据恒等式的性质列出方程（组），通常是比较恒等式对应项的系数或对字母取特殊值；（3）解方程（组）求出个待定系数，或者从方程（组）中消去待定系数，找出原来那些已知系数间所存在的关系．典例精选1．（新编）多项式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，被x+1除余9，则数对（a，b）＝（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）2．（新编）在1到1990之间有（）个整数n能使x2+x﹣3n可分解为两个整系数一次因式的乘积．A．1990 B．75 C．50 D．443．（浦东新区校级）多项式a3﹣b3+c3+3abc有因式（）A．a+b+c B．a﹣b+c C．a2+b2+c2﹣bc+ca﹣ab D．bc﹣ca+ab4．（余姚市校级自主招生）若2x3+A．818 B．778 C．5．（新编）多项式x135+x125﹣x115+x5+1除以多项式x3﹣x多得的余式是．6．（合肥校级自主招生）若a、b为整数，且x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，则a的值为．7．（张掖）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n）（其中m，n均为整数），则a的值是．8．（新编）已知6x2+7xy﹣3y2﹣8x+10y+c是两个x，y的一次多项式的乘积，而c是常数，则c＝．9．（新编）若多项式x4﹣x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）3整除，求a、b、c的值．10．（新编）多项式f（x）以x﹣1除之余式为9，以x﹣2除之余式为16，求f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式．精准预测1．以下三个判断中，正确的判断的个数是（）（1）x2+3x﹣1＝0，则x3﹣10x＝﹣3（2）若b+c﹣a＝2+5，c+a﹣b＝4-5，a+b﹣c=5-2，则a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2（3）若a2＝a1q，a3＝a2q，a4＝a3q，则a1+a2+a3+a4=a1(q4-1)A．0 B．1 C．2 D．32．如果x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式之积，那么a＝．3．多项式x5n+xn+1的两个因式的和当n＝1，x＝2时的值为．4．设x3+3x2﹣2xy﹣kx﹣4y分解为一次与二次因式之积．则k＝．5．x2﹣y2+3x﹣7y+k可分解成两个系数为有理数的一次因式，则k＝．6．（蚌山区校级自主招生）多项式x243+x81+x27+x9+x3+x被x﹣1除的余数为．7．（攀枝花）阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），求m的值．解法一：设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2+mx+5＝（x+1）（x2+ax+b）＝x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，∴a+1＝4，a+b＝m，b＝5，∴a＝3，b＝5，∴m＝8；解法二：令x+1＝0得x＝﹣1，即当x＝﹣1时，原多项式为零，∴（﹣1）3+4×（﹣1）2+m×（﹣1）+5＝0，∴m＝8用以上两种解法之一解答问题：若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值．8．已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x﹣4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a﹣2b﹣c的值．9．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是．10．（重庆校级模拟）因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1