核心考点08二次根式

核心考点08二次根式考点精讲目录一．二次根式的定义（共3小题）二．二次根式有意义的条件（共3小题）三．二次根式的性质与化简（共4小题）四．最简二次根式（共4小题）五．二次根式的乘除法（共7小题）六．分母有理化（共7小题）七．同类二次根式（共2小题）八．二次根式的加减法（共5小题）九．二次根式的混合运算（共2小题）十．二次根式的化简求值（共5小题）十一．二次根式的应用（共8小题）考点考向考点考向一．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．三．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．七．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．八．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．九．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．十．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．十一．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．考点精讲考点精讲一．二次根式的定义（共3小题）1．（2022春•海安市校级月考）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（）A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：由题意可知：＞0，∴x﹣3＜0，∴x＜3，故选：B．【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．2．（2022春•海安市期中）下列各式中，，，，，，其中一定是二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的定义分别进行判断即可得解．【解答】解：是二次根式的有、，共2个；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义，要注意二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．3．（2015春•扬州校级期末）已知n为正整数，是整数，则n的最小值是21．【分析】如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把化简，然后求n的最小值．【解答】解：∵189＝32×21，∴＝3，∴要使是整数，n的最小正整数为21．故填：21．【点评】本题考查了二次根式的意义，主要考查学生的理解能力和求值能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．二．二次根式有意义的条件（共3小题）4．（2023春•天宁区校级期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x≥﹣5 C．x＜5 D．x≥5【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意x﹣5≥0，解得x≥5，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．5．（2023春•邗江区月考）已知，则a﹣20222＝2023．【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a≥2023，则，由此求出a﹣2023＝20222，据此即可得到答案．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2023≥0，即a≥2023，∴，∴，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023，故答案为：2023．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到a≥2023是解题的关键．6．（2022春•兴化市月考）若实数m满足，则m＝22．【分析】先根据二次根式有意义得m﹣6≥0，即m≥6，再根据绝对值的性质得到足，即＝4，再求m的值即可．【解答】解：根据题意，得：m﹣6≥0，即m≥6，∴由|4﹣m|+＝m，得，即＝4，两边平方，得m﹣6＝42，∴m＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质以及绝对值的性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．三．二次根式的性质与化简（共4小题）7．（2022秋•阜宁县期末）化简＝．【分析】根据二次根式的化简，可以解答本题．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式化简的方法．8．（2022秋•苏州期末）已知+＝0，则+＝．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得a＝3，b＝2，所以，+＝+＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．9．（2023春•邗江区月考）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的康康进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝c2+3d2，b＝2cd；（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；（3）化简：．【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；（2）将变为即可求解；（3）将化为进行求解即可．【解答】解：（1）∵，∴a＝c2+3d2，b＝2cd．故答案为：c2+3d2，2cd．（2）∵，∴．（3）＝＝＝＝＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．10．（2022春•海州区校级期末）材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝±，＝±；（2）化简：；（3）计算：+．【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把6变形成2，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将变形成2，变形成2，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，故答案为：±，±；（2）＝＝＝±；（3）+＝+＝+＝﹣++＝，同理可得+＝．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．四．最简二次根式（共4小题）11．（2022春•盐都区月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．12．（2022春•靖江市校级期末）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则（+）2是（）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝2+2+10＝2×2+12＝4+12，它属于型无理数，故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．13．（2022春•宿城区期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：∵二次根式是最简二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整数值，当x＝﹣3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；当x＝﹣2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．14．（2022春•泰兴市期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：解得：，∴a+b＝8．【点评】本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．五．二次根式的乘除法（共7小题）15．（2022春•科左中旗月考）计算：×．【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝2，【点评】本题考查二次根式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．16．（2022春•科左中旗月考）计算：÷．【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．17．（2021春•姑苏区校级月考）已知等式＝成立，化简|x﹣6|+的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．【解答】解：由题意得，，∴3＜x≤5，∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．18．（2022春•亭湖区校级月考）若实数p在数轴上的位置如图所示，化简下列式子：+（）2【分析】直接利用数轴得出p的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：2＜p＜3，则原式＝+4﹣p＝3﹣p+4﹣p＝7﹣2p．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴等知识，正确化简二次根式是解题关键．19．（2022春•靖江市月考）（1）发现规律：特例1：＝＝＝2；特例2：＝＝＝3；特例3：＝4；特例4：．（填写一个符合上述运算特征的例子）；（2）归纳猜想：如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；（3）请证明你的猜想．【分析】根据前面几个算式的值，然后找出规律．【解答】解：（1）；故答案为：．（2）；故答案为：．（3）＝＝．【点评】本题考查了有理数的运算，属于规律型题目，解答本题的关键是总结规律，难度较大．20．（2023春•海安市月考）计算：＝4a．【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定a的取值范围，再根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵2a≥0，∴a≥0∴原式＝＝|4a|＝4a，故答案为：4a．【点评】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化简是解题的关键．21．（2022春•亭湖区校级期末）若无理数x与的积是一个正整数，则x的最小值是．【分析】由题意可得x是含有的无理数，再根据最小的正整数是1，从而可求x的值．【解答】解：∵，无理数x与的积是一个正整数，∴x是含有的无理数，∵最小的正整数是1，∴x其最小值为：．故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．六．分母有理化（共7小题）22．（2022春•江阴市期末）写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是．【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．【解答】解：×＝＝2；故答案为：．【点评】考查了正确选择二次根式，使它们的积是有理数是解答问题的关键．23．（2022春•江都区校级月考）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为．【分析】令x＝﹣，可求x2＝6，再由x＜0，可得﹣＝﹣，再将所求式子化简即可．【解答】解：令x＝﹣，∴x2＝（﹣）2＝6﹣3+6+3﹣2＝12﹣6＝6，∵＜，∴x＝﹣，∴﹣＝﹣，∴＝﹣＝5+2﹣＝5+，故答案为：5+．【点评】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．24．（2021春•靖江市月考）实数2﹣的倒数是2+．【分析】利用倒数的定义，以及分母有理化性质计算即可．【解答】解：实数2﹣的倒数是＝＝2+．故答案为：2+．【点评】此题考查了分母有理化，以及倒数，熟练找到有理化因式也是解本题的关键．25．（2021春•金坛区期末）比较大小：＜（填写“＞”或“＝”或“＜”）．【分析】根据分母有理化分别化简，即可得出答案．【解答】解：∵＝＝＝＝1+，＝＝＝，∴1+＜+1，故答案为：＜．【点评】本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．26．（2021春•丹阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：﹣．解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．请你解决下列问题：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；（2）化简：++；（3）化简：﹣．【分析】（1）根据平方差公式可得其有理化因式；（2）原式进行分母有理化得++，再进一步求解即可；（3）原式变形为﹣＝﹣，再进一步求解即可．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3，故答案为：2+3；（2）原式＝++＝++2+＝+；（3）原式＝﹣＝﹣＝+1﹣+1＝2．【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．27．（2021春•苏州期末）像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出﹣的一个有理化因式．【分析】根据题意可以解答本题．【解答】解：∵，∴是的一个有理化因式．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查有理化因式，分母有理化，解答本题的关键是掌握有理化因式的定义特征．28．（2021春•邗江区期中）阅读材料并解决问题：＝＝＝﹣1，像上述解题过程中，+1与﹣1相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）将下列式子进行分母有理化：①＝；②＝+；（2）化简：+．【分析】根据题意即可进行分母有理化【解答】解：（1）；+（2）原式＝+＝＝故答案为：（1）；+【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是正确理解题，熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．七．同类二次根式（共2小题）29．（2023春•海安市月考）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【分析】先把化为最简二次根式2，再根据同类二次根式得到3m﹣7＝2，然后解方程即可．【解答】解：∵＝2，∴3m﹣7＝2，∴m＝3．故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．30．（2022春•靖江市校级月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是3．【分析】先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出3a﹣7＝2，然后求解即可得出答案．【解答】解：由题意可知：＝2，3a﹣7＝2，a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．八．二次根式的加减法（共5小题）31．（2020春•赣榆区期末）如果与的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：∵与＝2的和等于3，∴＝3﹣2＝，故a+1＝3，则a＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键．32．（2022春•海安市期中）已知x+y＝−6，xy＝6．求的值．【分析】先根据题意得出x，y是负数，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．【解答】解：∵x+y＝−6，xy＝6，∴x＜0，y＜0，∴＝x•+y＝﹣（）＝＝﹣，当x+y＝−6，xy＝6时，原式＝﹣×＝﹣4．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．33．（2021春•广陵区校级期末）计算：9﹣＝﹣．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝9×﹣4＝3﹣4＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，会正确地化简二次根式是解题的关键．34．（2021春•锡山区期末）计算：+|1﹣|．【分析】先化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：＝2﹣6+﹣1＝﹣3﹣1．【点评】本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．35．（2022•南京一模）计算﹣的结果为．【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．【解答】解：﹣＝2﹣＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．九．二次根式的混合运算（共2小题）36．（2023春•邗江区月考）计算：（1）（）2﹣+；（2）×÷．【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再算加减即可；（2）先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝16﹣5+2＝13；（2）原式＝＝＝＝8．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．37．（2023春•启东市期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；﹣1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简：＝；＝．（2）填空：的倒数为﹣．（3）化简：．【分析】（1）根据题目的定义化简即可；（2）根据倒数的定义即可求解；（3）首先把每个代数式分母有理化，然后合并即可求解．【解答】解：（1）＝＝；＝＝；（2）∵（）（﹣）＝6﹣5＝1，∴+的倒数为﹣；故答案为：（1）；；（2）﹣；（3）原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝（2n+1﹣1）＝n．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题首先正确理解题目定义，然后注意利用平方差公式简化计算．一十．二次根式的化简求值（共5小题）38．（2021春•射阳县校级月考）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．39．（2022春•盐都区期中）已知a+1＝，则a2+2a+3＝4．【分析】利用完全平方公式对所求式子变形，然后整体代入计算．【解答】解：∵，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活运用完全平方公式是解题的关键．40．（2023春•邗江区月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．41．（2022春•江都区期末）已知实数a、b满足，则的值为．【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a﹣3＝0且b﹣1＝0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．【解答】解：∵实数a、b满足，∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，二次根式的化简求值等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键．42．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中．【分析】求出a的值，根据平方差公式得出a2﹣3﹣a2+6a，推出6a﹣3，把a的值代入求出即可．【解答】解：∵a＝+＝+，∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），＝a2﹣3﹣a2+6a，＝6a﹣3，＝6×（+）﹣3，＝3．【点评】本题考查了平方差公式和二次根式的化简求值的应用，关键是根据性质进行化简，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．一十一．二次根式的应用（共8小题）43．（2022春•盐城期末）直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的面积为．【分析】根据三角形的面积公式求解．【解答】解：S＝××＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．44．（2021春•如东县期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．45．（2022春•江都区校级月考）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为10．【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；【解答】解：∵a＝5，b＝7，c＝8．∴p＝＝10，∴△ABC的面积S＝＝10，故答案为：10．【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．46．（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）．（1）求从40m高空抛物到落地时间；（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．【分析】（1）把40m代入公式即可；（2）求出h，代入动能计算公式即可求出．【解答】解：（1）由题意知h＝40m，∴t＝＝＝2（s），故从40m高空抛物到落地时间为2s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝4s时，4＝，∴h＝80m，这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．47．（2022春•新吴区期末）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为．【分析】直接代入公式，再利用二次根式的运算进行化简．【解答】解：a＝2，b＝3，c＝4；∴S＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．48．（2022春•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积S的问题，古希腊数学家海伦在其著作《度量论》一书中给出了著名的海伦公式：S＝，其中p＝（a+b+c）．若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是6．【分析】根据题目中的海伦公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．【解答】解：若一个三角形的三边长分别为5，6，7，∴a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝（5+6+7）＝9，∴S＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．49．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为．【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的．（2）利用公式求解．【解答】解：（1）我同意这种说法．验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．△ABC的面积的面积为：＝6；利用秦九韶公式：△ABC的面积的面积为＝6．∵＝6，海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝6，解得：x＝．所以OD的长为：．故填：．【点评】本题考查学生的运算能力和对三角形内心的理解，熟练运算是解本题的关键．50．（2023春•惠山区校级期中）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0）；（3）①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为2；②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为8；③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为，则m＝11．【分析】本题是新定义题，通过操作、类比寻找规律，从而解决问题．（1）根据定义，“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为1：，由此规律可解决问题．【解答】解：如图①②，相关数据已标出，图①中，长为2，宽为2，长：宽＝2：2＝：1，符合奇异矩形的条件，图②中，长为4，宽为2，长：宽＝4：2＝：1，符合奇异矩形的条件．（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k＝2n或n2（n≥0），（3）①若用16个奇异矩形组成奇异矩形，则长＝4，宽＝2，此时满足奇异矩形的条件，根据勾股定理，，故答案为：对角线为2，②若用128个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长＝8，宽＝8，此时满足奇异矩形的条件，根据勾股定理：，故答案为：8；③根据规律可知：2m个基本矩形拼成的奇异矩形，长为（）m+1，宽为（）m，则对角线为（）m×，∴（）m×＝32，∴m＝11，故答案为：11．【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，寻找规律的应用，主要考查了学生的变换能力和动手画图操作能力．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）已知m是的小数部分，则的值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出m值，然后根据完全平方公式，代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查无理数的估算、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，得出m值是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级期中）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据合并同类二次根式，立方根的意义，二次根式的乘法和除法法则计算即可．【详解】A．和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B．，故B错误；C．，故C正确；D．，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，立方根的意义，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．3．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）的倒数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倒数的定义及二次根式的性质化简即可．【详解】解：的倒数是，故选：C．【点睛】本题考查了倒数的定义，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．4．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）下列二次根式中，不能再化简的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次根式的性质化简后即可判断．【详解】解：A、不能再化简，故符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2023春·江苏·八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（

）A．7 B． C． D．无法确定【答案】A【分析】先根据数轴上点的位置得到，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由题意得，，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键．6．（2023春·八年级单元测试）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是（）A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米【答案】A【分析】由直角三角形斜边上中线长可得斜边长，则可直角三角形两直角边和，设直角三角形的两条直角边分别为a厘米、b厘米，则有，由勾股定理得，利用完全平方公式变形可求得的值，从而求得三角形的面积．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长为2厘米，∴直角三角形的斜边长为4厘米，∵直角三角形的周长为厘米，∴直角三角形的两条直角边长和为厘米，设直角三角形的两条直角边分别为a厘米、b厘米，∴①，又②，由①②可得，，即，∴平方厘米，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，完全平方公式变形运用等知识，求出两直角边之积是问题的关键．二、填空题7．（2023春·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．8．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是__．【答案】【分析】根据二次根式的性质进行运算即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键．9．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______．【答案】2【分析】根据n为正整数，是大于1的整数，先求出n的值可以为2、8、32，128，再结合是大于1的整数来求解．【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．∵n为正整数∴n的值可以为2、8、32，128，n的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为________．【答案】【分析】根据的含义可得，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，且a和b为两个连续正整数，，∴，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、立方根、实数的运算等知识点，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．11．（2020秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________．【答案】3【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．【详解】解：由题中结论可得即：当时，有最小值为3，故答案为：3．【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．三、解答题12．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式化简为最简二次根式后，合并同类二次根式即可得到结果；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2023春·八年级单元测试）已知，，分别求下列代数式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)31【分析】(1)先计算，再根据代入计算即可．(2)根据代入计算即可．【详解】（1）∵，，∴，∴．（2）∵，，∴，，∴．【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的乘法，完全平方公式，熟练掌握公式并活用公式计算是解题的关键．14．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简求值(1)已知，，试求代数式的值．(2)先化简，再求值，其中，．【答案】(1)40；(2)，．【分析】（1）先利用提公因式法和完全平方公式，把原式进行因式分解，即可求解；（2）根据完全平方公式，分式的性质，化简，代入求值的方法即可求解．【详解】（1）解：，当，时，原式；（2）解：，当，时，原式．【点睛】本题主要考查整式的运算，分式的化简的综合，掌握完全平方公式，平方差公式，乘方运算，分式的性质，分式的化简、代入求值的方法是解题的关键．15．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）定义：若分式M与分式N的和等于它们的积，即，则称分式M与分式N互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．(1)试说明分式与分式互为“关联分式”；(2)若分式是分式的“关联分式”，，求分式的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据关联分式的定义判断即可；（2）根据关联分式的定义确定和关系，进而求出，再代入进行化简即可．【详解】（1）解：∵，，∴．∴分式是分式的“关联分式”．（2）解：∵分式是分式的“关联分式”，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，当时，∴，当时，∴，∴分式的值为．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，分式的乘法，分母有理化，熟练掌握分式的相关计算法则是解题的关键．16．（2023春·江苏·八年级专题练习）濮阳市指出要全力做好国土绿化工作，加快推进森林濮阳生态建设．现濮阳某公园有一块长方形绿地，为，为，内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为．(1)求长方形的周长；(2)图片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期维护费，求定期维护的总费用．【答案】(1)(2)6600元【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可；（2）先计算空白部分面积，再乘以50即可．【详解】（1）解：长方形的周长为：，答：长方形的周长是；（2）解：定期维护的总费用为：（元）．答：定期维护的总费用为6600元．【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．17．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有．故，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得，；(2)利用所探索的结论，找一组正整数，，，填空：（）；(3)若，且a，m，n均为正整数，求的值．【答案】(1)，(2)28，16，4，2（答案不唯一）(3)的值是7或13【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出、的值即可；（2）设，根据完全平方公式求出，得出，，再取一组整数、代入即可；（3）根据完全平方公式求出，求出，，求出，根据、为正整数得出，或，，再求出即可．【详解】（1）∵，又∵，∴，，故答案为：，；（2）设，∵，∴，，取，，则，，故答案为：28，16，4，2；（答案不唯一）（3），∵，∴，，∴，∵、都为正整数，∴，或，，当，时，；当，时，，∴a的值是7或13．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．18．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）（1）比较大小：①_____；②_____；③_____（填“＞”，“＜”，或“=”）；（2）猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：_____（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并请你对猜想的结论进行证明；（3）结论应用．如图，某同学用竹条做二个面积为，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要________cm．【答案】（1）>，>，=（2）≥（3）240【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；（3）根据对角线互相垂直的四边形面积=相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴，同理可得，，∵∴故答案为：>，>，=；（2）猜想：，理由是：，∴；故答案为：≥（3）设由题意得：，，∴用来做对角线的竹条至少要厘米．故答案为：240.【点睛】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．19．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：方法一：；方法二：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)直接写出化简结果：＝，＝；(2)请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；(3)计算：．【答案】(1)；(2)见解析(3)【分析】（1）根据分母有理化的方法进行运算即可；（2）根据所给的方法进行化简即可；（3）把各个式子进行分母有理化，从而进行求解即可．【详解】（1）解：①；②；故答案为：；；（2）解：方法一：；方法二：；（3）解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，理解分母有理化是解题的关键．20．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点．求证：，．证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程：（2）[问题解决]如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．（3）[思维拓展]如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）利用证明，得到，再得四边形是平行四边形，最后得到，；（2）过延长交的延长线于点H，得到三角形全等，据此即可求解；（3）延长至点M，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．【详解】证明：（1）∵点D和点E分别是的中点，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∴．∴，；（2），理由如下，延长交的延长线于点H，则：，，∵点E是的中点，∴，∴，∴，，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴；（3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，同理可证，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵H是的中点，，∴是的中位线，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三