勾股定理01讲核心（原卷版）

勾股定理的简单应用1．勾股定理的适用范围勾股定理只适用于直角三角形．或一个三角不是直角三角形，必须添加辅助线构造直角三角形才能用勾股定理．2．勾股定理简单应用形式（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；（2）已知直角三角形任意一边，确定另外两边的数量关系；（3）构造方程或方程组计算与直角三角形有关的长度、高度、距离、面积等问题；（4）证明含有平方关系的几何问题；1.已知中，，若，，则的面积为（）A.9 B.18 C.24 D.362.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边cm，cm，将折叠使点B与点A重合，折痕为，则的长为（）A. B. C. D.3.如图直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）A.16 B.6 C.4 D.54.如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求的长；（2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？（3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．【练经典】5.如图，中，，，则的长为（）A.2 B. C. D.6.如图，在中，，，的面积为90，则AC的长是（）A.9 B.12 C. D.247.如图，在中，，，，平分，则的长度是______．8.如图，中，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2s后，求的周长；（2）求出t为何值时，为等腰三角形；（3）当点P运动到任意一条角平分线上时（不与顶点A，B，C重合），直接写出t的值．【练易错】易错点：没有明确斜边与直角边导致错误9.在中，已知两边长为3、4，则斜边的长为______勾股定理逆定理的简单应用1．勾股定理逆定理适用范围以数判形，由三角形三边的长度来判断三角形的形状；2．勾股定理逆定理应用步骤（1）首先确定最大边（如）．（2）验证与是否具有相等关系．若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形．备注：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边．3．勾股定理逆定理应用形式（1）已知三角形三边的长度，判断三角形的形状；（2）在图形中寻找与已知两点构成直角三角形的点；（3）在网格中判断直角或直角三角形；（4）求某些不规则图形的面积；10.已知三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（）A. B.C. D.11.如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A. B. C. D.12.如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个13.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________..14.如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．15.已知：如图，四边形中，，求四边形的面积．练经典】16.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A.1，2，3 B.6，8，10 C.，， D.4，5，617.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.18.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以为边画，使点C在格点上，满足这样条件的点C共_____个．19.在中，，，上的高长为，则的面积为______．20.笔直的河流一侧有一旅游地点，河边有两个漂流点、，且点到点的距离等于点到点的距离．近阶段由于点到点的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（点在同一条直线上），并新建一条路，测得，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求原路线的长．【练易错】易错点：使用勾股定理逆定理时，没有考虑最长边而导致对直角作出错误判断．21.已知中，，，（n为大于2的整数），则∠_____．勾股定理与折叠问题1．折叠问题的解题思路环节2．最短路径问题的方法①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条线展开，转化为平面问题后，借助“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，进而构造直角三角形，借助勾股定理求解．②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换，转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题．3．最短路径常见的模型常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开和将军饮马模型、“造桥选址”模型、费马点等，2．折叠问题中常见的几何模型22.如图，在长方形中（），点E在边上，且，将沿折叠，若点C的对应点落在矩形的边上，，则的长度为_____．23.如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（）A. B. C. D.24.如图1，分别以长方形的边，所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知点B的坐标为（1）直接写出=_________；=____________;（2）如图2，点E在线段上，以直线为轴，把翻折，点O的对应点D恰好落在线段上．直接写出的长，并求出点E的坐标；（3）P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【练经典】25.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（）

A. B. C. D.26.如图，的纸片中，，点D在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长为______________．27.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，求的长．勾股定理与最短路径问题1．最短路径问题的解题思路环节28.如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（）A. B. C. D.29.圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点A沿侧面爬到点B，最短路径的长是（）A.6 B.7 C.9 D.1030.如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.1031.如图，长方形中，，线段在边上左右滑动，若，则最小值为_______．【练经典】32.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用细线从点A开始经过4个侧面绕一圈到达B点，那么所有的细线最短需要（）．A.10 B. C.14 D.1533.如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（）A.20cm B. C. D.40cm34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，连接CM，MN，则CM+MN的最小值是()A.3 B.5C.4 D.2.4（2022·陕西·无八年级期中）35.如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是______．勾股定理与方向角问题（1）方向角问题的思路画图→标出方向角→寻找或构造直角三角形→用勾股定理求解．（2）方向角常见的模型36.如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（）A.1000m B.1100m C.1200m D.1300m【练经典】37.海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．4、勾股定理与梯子移动问题（1）梯子移动问题的思路抓住梯子移动前后的两个直角三角形，梯子的长度就是这两个直角三角形的斜边；（2）梯子移动常见模型38.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（）A. B. C. D.【练经典】39.如图，将墙面和地平线的一部分分别标记，，且．把长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD．勾股定理逆定理的其它实际问题1．勾股定理与断树问题2、勾股定理与古代问题40.如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺41.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A.4米 B.6米 C.7米 D.8米42.如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为__．43.《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为_______尺．【练经典】44.如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（）A. B. C. D.45.《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？【练易错】易错点：不构造直角三角形直接用勾股定理导致错误．46.如图，某小区有一块四边形的空地，物业计划沿AC修一条笔直的小路(小路宽度不计)，并在三角形ABC和三角形ACD两个区域内分别种植牡丹花和杜鹃花以供观赏．经测量，米，米，米，求四边形ABCD的面积．【新定义小练】47.我们规定：经过三角形一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等边三角形的边长为，则它的“等周径”长为．在中中，，，，若直线l为的“等周线”，请直接写出的所有“等周径”长为______．48.对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，则称点Q为线段的“完美中垂点”（1）如图1，，下列各点中，线段的中垂点是．，，（2）如图2，点A为x轴上一点，若为线段的“完美中垂点”，写出线段的两个“完美中垂点”是和，两者的距离是．（3）如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，求（用含m的式子表示）．并求出（写出简单思路即可）．【阅读类小练】49.直角三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？情况一：锐角三角形如图①，在中，CD为斜边AB边上的高，在DC的延长线上取一点E，连接AE，BE，得到锐角三角形ABE，∵，∴．得出结论：锐角三角形夹锐角两边的平方和大于第三边的平方．像这种不用进行复杂的计算或推理，通过构造图形可以直观得到结论的方法，我们称之为“构图直观法”．情况二：钝角三角形你能借助上述“构图直观法”，得到钝角三角形三边之间类似的关系吗？请在图②中画出图形，得出结论并说明理由．得出结论：_____________．方法应用：下面我们用这种方法来研究其他问题：已知正方形ABCD，现作一个大正方形，使得正方形ABCD的四个顶点分别在大正方形的四条边上，则大正方形和正方形ABCD的面积之间会有怎样的数量关系？（1）如图③，作出一个满足要求的大正方形EFGH，使得正方形ABCD的四个顶点分别在大正方形各边中点上．过点A，B，C，D分别作大正方形的边的平行线，恰好与正方形ABCD的两条对角线所在直线重合，观察图形，则与的数量关系为：_______．（2）如图④，任意作出一个满足要求的大正方形MNPQ，若点A，B，C，D不是它各边中点，它的面积是否