专题10勾股定理的简单应用（1个知识点4种题型1种中考考法）

专题10勾股定理的简单应用（1个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.运用勾股定理解决实际问题（重点）【方法二】实例探索法题型1.勾股定理在实际生活中的应用题型2.勾股定理在最短路程问题中的应用题型3.勾股定理在运动变换问题中的应用题型4.动点问题在勾股定理中的应用【方法三】仿真实战法考法.勾股定理的应用【方法四】成果评定法【学习目标】能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题，进一步增强应用意识。在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受数学的转化、建模、数形结合及方程的思想方法，体会数学的文化价值，感受数学之美。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.运用勾股定理解决实际问题（重点）（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【方法二】实例探索法题型1.勾股定理在实际生活中的应用一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．【详解】解；梯子顶端距离墙角的距离为，顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为．则h的取值范围是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可．【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

∴；如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在中，，∴，此时，∴h的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意准确构造直角三角形是解题的关键．二、填空题3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为尺．【答案】【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：如图所示，设木柱长为尺，根据题意得：

∵则解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为．

【答案】【分析】先求出，再利用勾股定理列出方程即可得．【详解】解：，，，，，，即，则可列方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．三、解答题5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

【答案】超速了，16.8千米/时【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得小汽车行驶速度为76.8千米/时，进而得出答案．【详解】解：根据题意，得，在中，根据勾股定理，，所以，小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米），即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为，所以小汽车已超速行驶,超速千米/时．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出的长是解题关键．6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面上：

(1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子的顶端距地面24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】（1）利用勾股定理即可解答；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．【详解】（1）解：在中，（米），（米），∴（米），答：梯子的顶端距地面24米；（2）解：在中，（米），∴（米），∴（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

【答案】【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，设，则，∵，，∴，解得：，∴，答：站应建在离站处．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．题型2.勾股定理在最短路程问题中的应用1．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（不计壁厚）．【答案】13【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，∴=5cm，=3cm，∴BD=12cm，=13（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm．故答案为：13．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．2．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E的边上，，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点，．当的值最小时，【答案】10【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：在中，由勾股定理可得：，作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案为：10，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．【答案】25【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：将台阶展开矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得寸．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．题型3.勾股定理在运动变换问题中的应用1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【详解】∵四边形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折叠得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，设，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．二、填空题2．（2022秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为．【答案】【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【详解】解：在中，，设秋千的绳索长为，则，故，解得：，答：绳索AD的长度是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．三、解答题3．（2022秋·江苏·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？【答案】此时游船移动的距离的长是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果．【详解】解：在中，，，，∴，∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，∴，∴，∴．答：此时游船移动的距离的长是．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．题型4.动点问题在勾股定理中的应用1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，为一棵大树，在树上距地面的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是，求树高的距离．【答案】12米【分析】Rt△ABC中，∠B=90°，则满足，设AD=x，根据两只猴子经过的路程一样可得再利用勾股定理可得答案．【详解】解：Rt△ABC中，，

设AD=x，则

又在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴解得，x=2，即AD=2（米）∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：树高AB为12米．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？【答案】20cm【分析】由题意知：BC=AC，设BC=xcm，则OC=（36x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图所示，据气象预测，距沿海某城市A的正南方向千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为级，每远离台风中心千米，风力会减弱一级．该台风中心正以千米/时的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级就会受台风影响．

(1)该城市是否受到台风的影响？请说明理由．(2)若受台风影响，台风影响该城市持续的时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案】(1)会，见解析(2)小时(3)级【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于，就是所求的线段．中，根据的度数，的长，即可求出．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得．再根据路程和速度，即可求出时间．（3）风力最大时，台风中心应该位于点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过作于．在中，

，，，城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，受台风影响范围的半径为．，该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以为圆心，200为半径作交于、．则．台风影响该市持续的路程为：．台风影响该市的持续时间（小时）．（3）距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为：（级．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．【方法三】仿真实战法考法.勾股定理的应用1．（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高．【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：折断处离地面4.55尺．故答案为：4.55．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．2．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x﹣1）尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．【详解】，，，，少走的路长为，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（

）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【答案】B【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：设大树在折断之前的高是，由勾股定理得：，解得：或（不符合题意，舍去）∴大树在折断之前的高是；故选B．【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．3．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，根据勾股定理可得，，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期末）将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为8厘米，高为15厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大．当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，＝，故h．故h的取值范围是．故选：C．【点睛】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD，则四边形BDCE是矩形，∴CE=BD=8m，在中，由勾股定理得：，即小鸟至少飞行10m．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度＝13（尺），故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为，所以旗杆折断之前高度为．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．8．（2022秋·八年级单元测试）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【详解】解∶在中，米，故可得地毯长度米，故选：D．【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．9．（2021春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，∴，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，，∴，此时，所以取值范围是，故选：D．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（

）．A．3 B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】设与交于点H，由勾股定理得，根据三角形等面积知，设，，在中，根据勾股定理渴求的结果．【详解】解：设与交于点H，∵，，，∴，∴，即，∴，由折叠可知：，∴HF=CFCH=，在△BCH中，=，设，则=，在中，，∴，解得：，∴，故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．二、填空题11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是dm．【答案】25【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：展开图为：则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,在Rt△ABC中，（dm）.所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm.故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．12．（2022秋·江苏·八年级期中）如图所示，一个梯子长米，顶端A靠墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了米．【答案】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得：米，由于梯子的长度不变，在直角三角形中，根据勾股定理得米，所以米，即梯子的顶端下滑了米．【详解】解：在中，米，米，∴（米），在中，米，（米），∴（米），∴（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．13．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．【答案】70【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．【详解】解：如图，设米，∵，米，∴（米），∵米，米，∴（米），∴（米），∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），故答案为：70．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（2020秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期中）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是．【答案】【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，由勾股定理得，杯子的斜边长度，即，h的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．15．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）《九章算术》中有个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本二尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则尺．【答案】4【分析】设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】解：设尺，则尺，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴尺，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前的高度是米．【答案】24【分析】由题意可知两直角边的长度、从而构造直角三角形，然后根据勾股定理就可求出斜边的长，进而完成解答．【详解】解：∵，∴，∴树折断之前的高度为()米．故答案为：24．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题的关键．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为元．【答案】7.5【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则△BDC也为直角三角形，再根据勾股定理计算BC的长，从而算出B、C之间的票价．【详解】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，设其比例系数为（k≠0），即票价＝×路程，则路程＝k票价；在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，∵AD2+BD2=(8k)2+(6k)2=100k2=AB2∴△ABD为直角三角形∴∠ADB＝90°，则∠BDC＝90°；则在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2∴BC＝7.5k，则B、C之间公共汽车的票价为7.5元．故答案为7.5【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．18．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

【答案】2.7【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，

，根据题意得：，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的宽度为2.7米，故答案为：2.7．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．三、解答题19．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？【答案】1米【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，，如果梯子的顶度端下滑1米，则．在直角三角形中，根据勾股定理得到：，则梯子滑动的距离就是．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．20．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【答案】最短路程是150cm．【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．21．（2022秋·八年级单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处，于点A，于点B，已知，问：图书室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】距A处的地方【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：图书室E应建在距A点10千米处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理建立方程是本题的关键．22．（2022秋·江苏·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小时，小汽车超速了【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；（2）利用速度路程时间，即可判断．【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：由题意可得：米，米，在中，（米，答：小汽车6秒走的路程为120米；（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），，小汽车超速了．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．23．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．【答案】(1)米(2)2米【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长．（2）根据勾股定理可求，即可求的长．【详解】（1）如图：作，，在和中，，，，即，，则，所以，，所以（2）由勾股定理得，．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)会，理由见解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理