2025版高考数学一轮复习练案65第九章计数原理概率随机变量及其分布第五讲古典概型含解析新人教版

第五讲古典概型A组基础巩固一、单选题1．(2024·甘肃兰州一中月考)先后抛掷两枚匀称的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)[解析]要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴符合题意的基本领件数为3，而基本领件总数为36，∴概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．(2024·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日实行国家领导人第九次会见．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担当英语翻译，另2人担当俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).故选C．3．(2024·安徽皖江名校联考)疫情期间，某市教化局为了解学生线上学习状况，打算从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中A中学与B小学同时被选中的概率为(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(3,20)[解析]基本领件共Ceq\o\al(3,10)＝120，其中A中学与B小学被选中包含Ceq\o\al(1,8)＝8个基本领件，故所求概率为P＝eq\f(8,120)＝eq\f(1,15)，故选C．4．(2024·河北石家庄质检)北京冬奥会将于2024年2月4日到20日在北京和张家口实行．为纪念申奥胜利，中国邮政发行《北京申办2024年冬奥会胜利纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会祥瑞物“冰墩墩”、冬残奥会祥瑞物“雪容融”及“志愿者标记”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚祥瑞物邮票的概率为(C)A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).故选C．5.(2024·湖南郴州质检)《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“——”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为(C)A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(3,28)[解析]P＝eq\f(2C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,14)，故选C．6．(2024·山东省潍坊市期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场竞赛，规定：每一场双方均随意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,36)[解析]设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均随意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本领件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本领件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为P＝eq\f(1,6)，故选：B.7．(2024·百所名校联考)中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为(B)A．eq\f(3,14) B．eq\f(11,14)C．eq\f(1,14) D．eq\f(2,7)[解析]从“八音”中任取不同的“两音”共有Ceq\o\al(2,8)＝28种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有Ceq\o\al(2,8)－Ceq\o\al(2,4)＝22种取法；∴所求概率P＝eq\f(22,28)＝eq\f(11,14).故选：B.8．(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为(D)A．eq\f(11,16) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,8)[解析]由图可知所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，故选D.9．(2024·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地支配包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少支配一名专家，则甲、乙两名专家支配在不同乡镇的概率为(A)A．eq\f(19,25) B．eq\f(17,20)C．eq\f(16,25) D．eq\f(19,40)[解析]记甲、乙两名专家被安排在同乡镇的事务为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种状况，1种状况为1,1,3人，另1种状况为1,2,2人．那么P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3))＝eq\f(6,10＋15)＝eq\f(6,25)，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq\f(19,25).故选A.10．(2024·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(5,16)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)[解析]由题意可知第6次移动后回到原点⇔6次移动中向左移了3次，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),26)＝eq\f(5,16).故选B.二、多选题11．以下对各事务发生的概率推断正确的是(BCD)A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的嬉戏，则玩一局甲不输的概率是eq\f(1,3)B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq\f(1,15)C．将一个质地匀称的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，视察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq\f(5,36)D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq\f(1,2)[解析]玩一局甲不输的概率为eq\f(2,3)，A错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，B正确；对于C，点数之和为6的状况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种状况，所求概率P＝eq\f(5,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(5,36)，C正确；对于D，所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，D正确．故选BCD.12．(2024·江苏徐州一中、兴化中学期中)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事务A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事务B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则(BC)A．事务A发生的概率为eq\f(1,2)B．事务A∪B发生的概率为eq\f(11,20)C．事务A∩B发生的概率为eq\f(2,5)D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq\f(1,5)[解析]P(A)＝eq\f(11,20)，A错；P(A∪B)＝eq\f(11,20)，B正确；P(A∩B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq\f(1,4)，D错，故选BC．三、填空题13．(2024·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为eq\f(1,210).[解析]由捆绑法可得所求概率P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(9,9))＝eq\f(1,210).14．(2024·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是eq\f(3,10).(用数字作答)[解析]5人排一行共有Aeq\o\al(5,5)种排法，甲、乙两人之间恰有一人有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(3,10).15．(2024·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e>eq\r(5)的概率是eq\f(1,6).[解析]由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种状况；当a＝2时，b＝5,6两种状况，总共有6种状况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事务的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).四、解答题16．(2024·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．[解析](1)由题意，全部可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”为事务A，则事务A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事务B，则事务eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).17．(2024·华南师大附中综合测试)某校从参与高一年级期末考试的学生中抽取60名学生，将其数学成果(均为整数，单位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下不完整的频率分布直方图．视察图中的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级学生的数学成果的中位数；(2)从被抽取的数学成果是70分以上(包括70分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．[解析](1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.补全的频率分布直方图如图：中位数是xc＝70＋10×eq\f(0.1,0.3)＝73.33.因而估计该校高一年级学生的数学成果的中位数是73.33分．(2)分数在[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.所以从成果是70分以上(包括70分)的学生中选2人，他们在同一分数段的概率P＝eq\f(C\o\al(2,18)＋C\o\al(2,15)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,36))＝eq\f(29,70).B组实力提升1．(2024·湖北武汉部分学校质检)我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为(B)A．eq\f(3,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)[解析]从5个里面选3个共有10种状况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种状况，所以概率为eq\f(1,2)，故选B.2．(2024·安徽六校联考)2024年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖实行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生打算高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中随意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(B)A．eq\f(27,64) B．eq\f(9,16)C．eq\f(81,256) D．eq\f(7,16)[解析]4名同学去旅游的全部状况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144种状况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝eq\f(144,256)＝eq\f(9,16).故选B.3．(2024·四川成都月考)2024年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都打算选历史，假如他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)[解析]每个人的选法有Ceq\o\al(2,4)＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故选D.4．(2024·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为(A)A．eq\f(5,13) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,12)[解析]所求事务的概率P＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3))＝eq\f(5,13)，选A.5．(2024·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采纳系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采纳简洁随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(7,10) D．eq\f(4,5)[解析]由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．记“抽取的3人中既有男生又有女生”为事务A，则P(A)＝1－eq\f(C\o\