2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE平面对量数量积的坐标表示、模、夹角(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：由题意得cos∠ABC＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(3),2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(\r(3),2)，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.答案：A2．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4解析：由题意得，2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，∵(2b－a)⊥a，∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3，∴|a|＝eq\r(－12＋3)＝2.答案：C3．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m的值为()A．2eq\r(3) B．－eq\r(3)C．0 D．eq\r(3)解析：由题意得|a|＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，a·b＝3＋eq\r(3)m＝2eq\r(9＋m2)coseq\f(π,6)，解得m＝eq\r(3)，选D.答案：D4．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为()A．2eq\r(5) B．2C.eq\r(5) D．10解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cosθ＝|a|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(2×3＋1×4,5)＝2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝____________.解析：∵a＝(－1,3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3,3－2t)．∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1,2)，∴|b|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)6．已知向量a＝(1，eq\r(3))，2a＋b＝(－1，eq\r(3))，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.解析：∵a＝(1，eq\r(3))，2a＋b＝(－1，eq\r(3))，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝eq\f(a·2a＋b,|a||2a＋b|)＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)7．设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，m)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(n,1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5，－1)，若A，B，C三点共线，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的值是__________．解析：由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(n＋2,1－m)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(7，－1－m)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(n＋2)(－1－m)－7(1－m)＝0.∵eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴－2n＋m＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝\f(3,2)，))故m＋n的值为9或eq\f(9,2).答案：9或eq\f(9,2)三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知平面对量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5).9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))及|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)设实数t满意(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，求t的值．解析：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－6)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋36)＝2eq\r(10).(或|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\r(10＋26＋2×2)＝2eq\r(10))(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3－2t，－1＋t)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，－1)，且(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)．(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．解析：(1)因为向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，eq\r(3))－(－2,0)＝(3，eq\r(3))，所以cos〈a－b，a〉＝eq\f(a－b·a,|a－b|·|a|)＝eq\f(6,4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因为〈a－b，a〉∈