2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价三十二第五章计数原理1计数原理含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE三十二计数原理(15分钟30分)1．依据中心对“精准扶贫”的要求，某市确定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有()A．7种B．6种C．5种D．4种【解析】选B.依据题意，选出的2人中既有男性又有女性，必为一男一女，在3名男性党员中任选1人，有3种选法，在2名女性党员中任选1人，有2种选法，则既有男性又有女性的不同选法有3×2＝6种．【补偿训练】将1，2，3，…，9，这9个数填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，所填写空格的方法有()34A.6种B．12种C．18种D．24种【解析】选A.由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，对于表格的第一行，3的左边只可以填1，4的左边只可以填2，9只能在右下角，5只能填右上角或左下角，有两种选择，5填后与之相邻的空格可填6，7，8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法，所以填写表格的方法有2×3＝6种结果．2．甲、乙、丙、丁四个好挚友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的安排方式有()A．6种B．9种C．11种D．23种【解析】选B.方法一：让甲、乙、丙、丁依次拿一张别人送出的贺年卡，假如甲先拿有3种取法，此时被甲拿走的那张贺年卡的作者也有3种取法，接下来的两人就各有一种取法(因为此时剩下两张贺年卡中至少有一张是其中一人所写，他就只能取另一张).由于这是分步完成，用分步乘法计数原理，有3×3×1×1＝9种不同的安排方式．方法二：设甲、乙、丙、丁所写的贺年卡分别是A，B，C，D，当甲拿贺年卡B时，则乙可以拿A，C，D中任何一张，即乙拿A，丙拿D，丁拿C或乙拿C，丙拿D，丁拿A或乙拿D，丙拿A，丁拿C，所以甲拿B时有三种不同的安排方法．同理甲拿C，D时都各有三种不同的安排方法，这时对A的分类完成．用分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9种安排方式．3．某运动会的竞赛某电视台在19日至24日六天中共有8场直播(如表所示)，逸凡准备选取其中的三场观看．但由于工作较忙，观看的随意两场直播中间至少间隔一天(如21日观看直播则22日不能观看直播)，则逸凡选择观看的不同种数是()日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天上午下午内容飞行竞赛赛前训练射击游泳击剑篮球障碍跑定向越野A.8B．10C．12D．14【解析】选B.依据题意，只能选择观看三场直播，所选择的三场直播必需是三个互不相邻的日期；若选择19，21，24这三天，则有2×2＝4种观看方式；若选择19，22，24这三天，则有2种观看方式；若选择19，21，23这三天，则有2种观看方式；若选择20，22，24这三天，则有2种观看方式；综上，共有10种不同的观看方式．4．语文里流行一种特殊的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在全部的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有________个．【解析】设4位数为xyyx，即可知这样的4位数有9×10＝90个，又因为四个数字不能都相同，需减掉x＝y，即形如xxxx的数共9个，所以90－9＝81个．答案：815．某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参与学代会．(1)若学校安排给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校安排给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？【解析】(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．依据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．依据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．(30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．现有4名同学去听同时进行的3个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．60B．64C．81D．360【解析】选C.每名同学可以选3个课外学问讲座中的一个，依据分步乘法计数原理可知，不同选法的种数是3×3×3×3＝81.2．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，5，6，－7))，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、其次象限不同点的个数为()A．18B．16C．14D．10【解析】选C.一类以集合M中的元素为横坐标，集合N中的元素为纵坐标，集合M中取一个元素的方法有3种，要使点在第一、其次象限内，则集合N中只能取5，6两个元素中的一个，有两种，依据分步乘法计数原理得此类点的个数为3×2＝6个．另一类以集合N中的元素为横坐标，集合M中的元素为纵坐标，集合N中取一个元素的方法有4种，要使点在第一、其次象限内，则集合M中只能取1，3两个元素中的一个，有两种，依据分步乘法计数原理得此类点的个数为4×2＝8个．综上所述，这样的点共有6＋8＝14个．3．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同直线的条数是()A．20B．19C．18D．16【解析】选C.从1，2，3，4，5这五个数中取两个不同的数作为A，B的值，这一任务的完成，可以分两步进行，第一步取A的值，其次步取B的值，留意要得到的是不同的直线．第一步：确定A的值，有5种方法；其次步：确定B的值，有4种方法．但由于当A取1，B取2时与A取2，B取4时，当A取2，B取1时与A取4，B取2时所对应的直线为同始终线，所以应削减2条．综上，所得的不同直线的条数为5×4－2＝18条．【补偿训练】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A．8种B．12种C．16种D．20种【解析】选B.从符合条件的情形入手，先选两个不相邻的，再选第三个面．可以分两步，第一步：先选不相邻的两个面，共有3种选法，均为相对的面．其次步：再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的三个面符合题目要求，所以共有选法N＝3×4＝12种．4．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()A．720种B．1440种C．2880种D．4320种【解析】选D.依据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；其次步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3，1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3，1，4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1，2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1，2，5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法有6×5×4×3×4×3＝4320种．【误区警示】本题区域较多，假如分类不合理，通常会导致重复或遗漏．二、填空题(每小题5分，共10分)5．不大于1000的正整数中，不含数字3的正整数的个数是________.【解析】不大于1000且不含数字3的正整数可分为1位、2位、3位和4位．一位数为1－9中除3外的数，共有8个；两位数：十位可选1－9中除3外的8个数字，个位可选0－9中除3外的9个数字，故共有8×9＝72个；三位数：百位、十位、个位上各有8，9，9种选法，共有8×9×9＝648个．四位数只有1000符合题意．故共有符合条件的正整数8＋72＋648＋1＝729个．答案：729【补偿训练】用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.【解析】百位的数字可以选择的种数为5种，十位，个位可以选的种数分别为5种，4种，则可组成无重复数字的三位数的个数为5×5×4＝100；可组成有重复数字的三位数的个数为5×6×6＝180.答案：1001806．算筹是在珠算独创以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示．假如把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为________.【解析】按每一位算筹的根数分类一共有15种状况，分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，0，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，3))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，4))，2根或2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面状况能表示的三位数字个数分别为：2、2、2、4、2、4、4、4、4、4、2、2、4、2、2，依据分类加法计数原理，得5根算筹能表示的三位数字个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.答案：44三、解答题(每小题10分，共20分)7．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【解析】(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题．从第一个口袋中取一封信有5种状况，从其次个口袋中取一封信有4种状况，则共有5＋4＝9种不同的取法．(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题，应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种状况，其次步，从其次个口袋中取一封信有4种状况，由分步乘法计数原理，知共有5×4＝20种．(3)第一封信投入邮筒有4种可能，其次封信投入邮筒有4种可能……第九封信投入邮筒有4种可能，由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的投法．8．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－2，－1，0，1，2))，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？【解析】(1)因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．(2024·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i＜j＜k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k