2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第1课时二面角平面与平面垂直的判定分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章立体几何初步A级基础巩固1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.因为m⊂α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.答案:C2.若从二面角内随意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A.相等 B.互补C.互余 D.无法确定解析:如图所示,BD,CD分别为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.答案:B3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.答案:D4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,相互垂直的面有3对.解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.5.如图所示,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小解:因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=12AD,所以∠ADC所以平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°.B级实力提升6.如图所示,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是34解析:如图所示,作AO⊥β于点O,过点O作OC⊥l于点C,连接OB,AC,由线面垂直、线线垂直可得AC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,所以sinθ=AOAB=ACAB·AOAC7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=12AA1,D是棱AA1的中点证明:平面BDC1⊥平面BDC.证明:由题设知,BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.因为DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题意知,∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.因为DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.因为DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.8.如图所示,几何体是某圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是FD的中点.(1)设P是EC上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.解:(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB⊂平面ABP,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.因为BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP.因为∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.(2)如图所示,取EC的中点H,连接EH,GH,CH.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=32+2因为AM=1,所以EM=CM=13-1=2在△BEC中,∠EBC=120°,由余弦定理,得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以EC=23=EM=CM,所以△EMC为等边三角形,所以所求二面角为60°.C级挑战创新9.实际应用问题如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,视察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了面面垂直的判定定理.解析:如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β,且OB∩OC=O,依据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β.由OA⊂α,依据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.10.探究性问题如图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过点A作AE⊥CD,垂足为E.现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE.(2)在线段AE上是否存在一点R,使得平面BDR⊥平面BDC,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明:因为AE⊥CD,所以AE⊥CE,AE⊥DE.因为CE∩DE=E,所以AE⊥平面CDE.由已知易得AE∥BC,所以BC⊥平面CDE.(2)解:存在,当点R满意AR=14AE时,平面BDR⊥平面理由:如图所示,过点E作EF⊥CD交CD于点F,易得CF=14由(1)可知BC⊥平面CDE,则BC⊥EF,所以