2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例-距离问题同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE解三角形的实际应用举例——距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l=QUOTE=70nmile.2.海洋中有A,B,C三座灯塔,其中A,B之间距离为a,在A处视察B,其方向是南偏东40°,视察C,其方向是南偏东70°,在B处视察C,其方向是北偏东65°,B,C之的距离是 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选D.如图所示,由题意可知AB=a,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,所以∠C=45°,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即BC=QUOTE=QUOTEa.3.一艘海轮从A处动身,在A处视察灯塔C,其方向是南偏东85°.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,20分钟后到达B处.在B处视察灯塔C,其方向是北偏东65°.则B,C之间的距离是 ()A.10QUOTE海里 B.20QUOTE海里C.20QUOTE海里 D.10QUOTE海里【解析】选C.A,B,C的位置如图所示:因为C在A的南偏东85°的位置,故∠EAC=85°,因为B在A的南偏东40°的位置,故∠EAB=40°,所以∠CAB=45°.因C在B的北偏东65°的位置,故∠DBC=65°,因∠DBA=40°,故∠ABC=105°,即∠ACB=30°,在△ABC中,QUOTE=QUOTE,AB=60×QUOTE=20(海里),故BC=20QUOTE4.(2024·成都高一检测)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4km的C,D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B间的距离为 ()A.QUOTEkm B.QUOTEkm C.QUOTEkm D.2QUOTEkm【解析】选B.由已知,在△ACD中,∠CAD=30°,∠ACD=120°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,所以AD=QUOTE=QUOTE=4QUOTEkm,在△BCD中,∠CBD=60°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=QUOTE=QUOTEkm,在△ABD中,由余弦定理得,AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=QUOTE,解得:AB=QUOTEkm.5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4∠A=30°,则其跨度AB的长为 ()A.12m C.3QUOTEm D.4QUOTEm【解析】选D.由已知∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE=4QUOTE(m).6.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距A.10QUOTE米 B.100QUOTE米C.20QUOTE米 D.30米【解析】选D.如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,设A处观测小船C的俯角为45°,设A处观测小船D的俯角为30°,连接BC,BD.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,可得BC=AB=30米,Rt△ABD中,∠ADB=30°,可得BD=QUOTEAB=30QUOTE米,在△BCD中,BC=30米,BD=30QUOTE米,∠CBD=30°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos30°=900,所以CD=30二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12QUOTEnmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8QUOTEnmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在东偏南30°,则(1)A处与D处之间的距离为__________nmile;

(2)灯塔C与D处之间的距离为__________nmile.

【解析】(1)在△ABD中,AB=12QUOTE,∠ADB=180°-120°=60°,∠BAD=75°,所以B=45°.由正弦定理得AD=QUOTE=QUOTE=24(nmile).故A处与D处之间的距离为24nmile.(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得CD=8QUOTE(nmile).故灯塔C与D处之间的距离为8QUOTEnmile.答案:(1)24(2)8QUOTE8.(2024·烟台高一检测)如图,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶到A处时测得马路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=__________米,仰角α的正切值为__________【解析】设山的高度CD=x(米),由题可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300(米),∠CBD=45°,在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得:QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得:CB=300QUOTE(米),AC=150QUOTE(米),在Rt△BCD中,由∠CBD=45°,可得:x=CB=300QUOTE(米),在Rt△ACD中,可得:tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.答案:300QUOTEQUOTE-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.甲船自某港动身时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,明显∠EAD=60°.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).所以s=2时,BC最小为QUOTE,此时AB=5,AC=4.即甲船离港4海里,乙船离港5故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港510.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1(1)摸索究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B,D间的距离.【解题指导】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,计算可得∠BCD=60°,则CB是△CAD底边AD的中垂线,BD=BA;(2)在△ABC中,由正弦定理计算可得AB,进而求BD.【解析】(1)在△ADC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,所以CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.(2)在△ABC中,由正弦定理得:QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE.所以BD=QUOTE.答:B,D间的距离是QUOTEkm.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较相宜的是 ()A.a,c,α B.b,c,αC.c,a,β D.b,α,γ【解析】选D.由b,α,γ,可利用正弦定理求出BC.2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的马路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔 ()A.2km B.3QUOTEkm C.3km D.2QUOTEkm【解析】选B.由条件知AB=24×QUOTE=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以BS=QUOTE=3QUOTEkm.3.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,CA.QUOTEkm B.QUOTEkm C.QUOTEkm D.2km【解析】选A.由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=xkm,因为∠CAB=75°,∠CBA=60°,所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,所以AD=QUOTExkm,所以在Rt△ABD中,AB·sin60°=QUOTEx,x=QUOTE.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,起吊的货物与岸的距离AD为A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEcos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ACD中,AD=ACsin∠ACD=15×QUOTE=QUOTE(m).【误区警示】解答本题若选择求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,则运算量较大,极易出错.5.已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm,灯塔A在视察站C的北偏东20°,灯塔B在视察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akm B.QUOTEakmC.QUOTEakm D.2akm【解析】选B.在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB=QUOTE=QUOTE=QUOTEa(km).二、填空题(每小题5分,共20分)6.一轮船向正北方向航行,某时刻在A处测得灯塔M在正西方向且相距20QUOTE海里,另一灯塔N在北偏东30°方向,接着航行20海里至B处时,测得灯塔N在南偏东60°方向,则两灯塔MN之间的距离是________海里.

【解析】由题设有AM=20QUOTE,AB=20,∠BAN=30°,∠ABN=60°,所以∠ANB=90°,AN=20×QUOTE=10QUOTE.而∠MAN=120°,故MN2=1200+300-2×20QUOTE×10QUOTE×QUOTE,所以MN=10QUOTE.答案:10QUOTE7.某船在行驶过程中起先望见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东75°的方向航行15海里后,望见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是________海里.

【解析】以O点为原点建立平面直角坐标系,如图所示,设南偏东30°方向为射线OM,船沿南偏东75°方向航行15海里后到达A点过点A作x轴平行线,交y于点D,交OM于B点,则B为灯塔.∠DOA=75°,cos∠DOA=QUOTE,所以OD=OAcos75°=QUOTE,又sin∠DOA=QUOTE,所以AD=OAsin75°=QUOTE,又∠DOB=30°,tan∠DOB=QUOTE,所以BD=ODtan30°=QUOTE,所以AB=AD-BD=5QUOTE(海里).答案:5QUOTE8.如图,船甲以每小时30公里的速度向正东航行,船甲在A处看到另一船乙在北偏东60°的方向上的B处,且AB=30QUOTE公里,正以每小时5QUOTE公里的速度向南偏东60°的方向航行,行驶2小时后,甲、乙两船分别到达C、D处,则CD等于________公里.

【解析】过B作BE⊥AC交AC于E,故BE=15QUOTE,AE=45,AC=30×2=60,所以CE=15,BD=5QUOTE×2=10QUOTE,由于BDsin60°=10QUOTE×QUOTE=15=CE,故CD∥BE,所以CD=BE-BDcos60°=15QUOTE-5QUOTE=10QUOTE.答案:10QUOTE9.我国南宋闻名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为________平方千米【解析】设三角形沙田的三个顶点为A,B,C,其对应边的边长分别为a=13里,b=14里,c=15里,则cosC=QUOTE=QUOTE,sinC=QUOTE,S=21×106m2=21(平方千米).答案:21三、解答题(每小题10分,共30分)10.如图,一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10°的B岛行驶,安排到达B岛后停留10分钟后接着以相同的速度驶往C岛.C岛在B岛的北偏西65°的方向上,C岛也在A岛的北偏西20°的方向上.上午10时整,该船从A岛动身.上午10时20分,该船到达D处,此时测得C岛在北偏西35°的方向上.假如一切正常,此船何时能到达C岛?(精确到1分钟)【解析】在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=135°,依据正弦定理得,QUOTE=QUOTE,即CD=QUOTEAD.在△BCD中,∠BCD=30°,∠CBD=105°,依据正弦定理得,QUOTE=QUOTE=QUOTE,即DB+BC=QUOTECD.所以DB+BC=QUOTEAD,即DB+BC=QUOTEAD=QUOTEAD=(1+QUOTE)AD,从而,此船行驶DB和BC共需20(1+QUOTE)分钟.故由A岛动身至到达C岛全程须要50+20QUOTE分钟.即该船于11时18分到达岛.(说明:11时19分,也正确.)11.如图所示,在平面四边形ABCD中,AC与BD为其对角线,已知BC=1,且cos∠BCD=-QUOTE.(1)若AC平分∠BCD,且AB=2,求AC的长.(2)若∠CBD=45°,求CD的长.【解析】(1)若对角线AC平分∠BCD,即∠BCD=2∠ACB=2∠ACD,所以cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-QUOTE,因为cos∠ACB>0,所以cos∠ACB=QUOTE,因为在△ABC中,BC=1,AB=2,cos∠ACB=QUOTE,所以由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB,即AC2-QUOTEAC-3=0,解得AC=QUOTE,或AC=-QUOTE(舍去),所以AC的长为QUOTE.(2)因为cos∠BCD=-QUOTE,所以sin∠BCD=QUOTE=QUOTE,又因为∠CBD=45°,所以sin∠CDB=sin(180°-∠BCD-45°)=sin(∠BCD+45°)=QUOTE(sin∠BCD+cos∠BCD)=QUOTE,所以在△BCD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,可得CD=QUOTE=5,即CD的长为5.12.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下