数下高数隐函数偏导数

2011.2.6北京工商大学9-5-1第五节隐函数的求导公式一个方程的情形方程组的情形小结思考题作业第八章多元函数微分法及其应用2011.2.6北京工商大学9-5-2一、一个方程的情形1.

F(x,y)=0的情形隐函数存在定理1隐函数的求导公式设二元函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足:则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一并有(1)

具有连续偏导数;条件y0=f(x0),(2)F(x0,y0)=0(3)Fy(x0,y0)

≠0

确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-3或简写:于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域内仅推导公式.对恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得2011.2.6北京工商大学9-5-4如,方程记(1)的邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式隐函数存在定理1的隐函数则(2)(3)2011.2.6北京工商大学9-5-5解令则隐函数的求导公式例2011.2.6北京工商大学9-5-62.由三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数

z=f(x,y)的情形并有若三元函数F(x,y,z)满足:一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),(1)在点P(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数;隐函数存在定理2隐函数的求导公式则方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能惟(2)F(x0,y0,z0)=0(3)Fz(x0,y0,z0)

≠0

隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-7隐函数的求导公式仅推导公式两边分别关于x和y求导,得是方程所确定的隐设函数,则有恒等式所以存在点的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得2011.2.6北京工商大学9-5-8例

解

则令隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-9注将再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-10练习用对称性可简化计算.解将方程两边对x求偏导,得隐函数的求导公式再对上式两边对x求偏导,得由x,y的对称性知,2011.2.6北京工商大学9-5-11二、方程组的情形(隐函数组)

下面讨论联立方程组所确定的隐函数的求导问题：确定两个二元函数求隐函数存在定理3.请看课本第34页隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-12将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组.由链导法则得:隐函数的求导公式求2011.2.6北京工商大学9-5-13解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j(德)1804-1851隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-14同理,两边关于y求偏导,得隐函数的求导公式求2011.2.6北京工商大学9-5-15特如果方程组它可能确定两个现假定它确定且两个函数都则求的方法同前面求的方法相同.为可微,别一元函数,隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-16例解分析直接代入公式；法一令隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-17隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-18隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-19方程组两边对x求导得运用公式推导的方法.法二注意隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-20例

设方程组确定函数解直接代入公式；运用公式推导的方法.原方程组两边分别对法二法一x求偏导数：隐函数的求导公式u与v都视为x,y的二元函数2011.2.6北京工商大学9-5-21解方程组得移项得：隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-22原方程组两边分别对解方程组得自己练y求偏导数：隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-23书上第36页例4中对即因为的解释.注隐函数的求导公式已知2011.2.6北京工商大学9-5-24求例解法一对x求偏导：隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-25对

y求偏导,同理，自己练.隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-26法二用全微分形式不变性求隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-27隐函数的求导公式yrxrdcosdsinqq+=qqqqqcossinsincosdrr-=2011.2.6北京工商大学9-5-28思考题分析方程组中含有五个变量,由题意看出是因变量,是自变量,y究竟是因变量,还是自变量?在这种所求偏导是一阶,而又有一变量的属性不太明确的情况下,形式不变性来处理比较简便.用全微分隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-29解答的两边求全微分,得隐函数的求导公式2011.2.6北京工商大学9-5-30三、小结(以下三种情况)隐函数的求导法则隐函数的求导公式201