新高考数学专题复习专题36运用裂项相消法求和专题练习(学生版+解析)

专题36运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).一、题型选讲例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知Sn为等差数列的前n项和，若．(1)求an；(2)令，求数列的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和及通项公式；（2）记，为的前n项和，求．例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和，及通项公式；（2）记，为的前n项和，求.例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列an的前n项和为Sn，且an（1）求数列an（2）若bn=S1−Sn2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和.5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝eq\s\do1(\f(Sn,2n＋1))，求数列{bn}的前n项和Tn．专题36运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).一、题型选讲例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公比为，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，解得：.∴，∴.（2），∴.例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知Sn为等差数列的前n项和，若．(1)求an；(2)令，求数列的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列中，，解得若选择条件(2)，在等差数列中，解得；若选择条件(3)，在等差数列中al=Sl=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-l)2+2(n-1)]=2n+l，a1也符合，∴an=2n+1；(2)由(1)得，例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和及通项公式；（2）记，为的前n项和，求．【解析】(I)由已知有，∴数列为等差数列，且，∴，即，当时，，又也满足上式，∴；(II)由(1)知，，∴，例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；（2）由（1）知，因为，.例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和，及通项公式；（2）记，为的前n项和，求.【解析】（I）由已知有，∴数列为等差数列，且，∴，即，当时，，又也满足上式，∴；（II）由（1）知，，∴，例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【解析】(1)设数列的公差为，由题意知:①又因为成等比数列，所以，，，又因为，所以.②由①②得，所以，，，，.(2)因为，所以所以数列的前项和.例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），，，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意．例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以当时，，上述两式相减并整理，得.又因为时，，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2）由（1）可知，.所以.二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列an的前n项和为Sn，且an（1）求数列an（2）若bn=S1−Sn【解析】（1）当n=1时，4a1=a12+2当n≥2时，4Sn=①－②得4an=化简得an因为an>0，∴a从而an是以2为首项，公差为2的等差数列，所以a（2）由（1）知Sn因为bn∴=12、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.【解析】（1），.，为常数，是等差数列.（2），.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得..(2)前项和.4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和.【解析】(I)，故，解得，故，.(II)，故.5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知所以所以数列的前项和：所以数列的前项和6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝eq\s\do1(\f(Sn,2n＋1))，求数列{bn}的前n项和Tn．【解析】：(1)因为Sn2＝an(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))，当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－eq\s\do1(\f(1,2)))，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由题意得Sn－1·Sn≠0，所以eq\s\do1(\f(1,Sn))－eq\s\do1(\f(1,Sn－1))＝2，即数列{eq\s\do1(\f(1,Sn))}是首项为eq\s\do1(\f(1,S1))＝eq\s\do1(\f(1,a1))＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以eq\s\do1(\f(1,Sn))＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝eq\s\do1(\f(1,2n－1))．…………7分(2)易得bn＝eq\s\do1(\f(Sn,2n＋1))＝eq\s\do1(\f(1,(2n－1)(2n＋1)))……………8分＝eq\s\do1(\f(1,2))(eq\s\do1(\f(1,2n－1))－eq\s\