专题07分段函数的研究(原卷版+解析)

专题07分段函数的研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，其中a为常数，则的值为（）A．2 B． C． D．变式1、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数，则______．变式2、（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数，则（）A． B． C．7 D．11变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．变式1、（2021·浙江高三期末）已知，则______；若，则______．变式2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6变式3、（2021·山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（）A． B． C． D．题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例3、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________变式1、（2020·河南罗山县教学研究室高三其他（理））已知函数单调递减，则实数的取值范围为_____.变式2、（2020·全国高三专题练习（理））设函数，则满足的取值范围是______.题型四分段函数的定义型问题本题考查函数的新定义，关键在于抓住函数的定义，把握住间减函数的实质，结合函数的单调性得以解决问题．例4、（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（）A．当时，的值域为；当时，的值域为B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性变式1、（2021·全国高三月考（理））如果函数在区间上和区间上都是减函数，且在上也是减函数，则称是上的间减函数，如是上的间减函数．是即上的间减函数，是上的间减函数，不是上的间减函数，不是上的间减函数．以下四个函数中：①，②，③，④．其中是间减函数的是______（写出所有正确答案的序号）．1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______；3、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知函数，若，那么实数的值是（）A．4 B．1 C．2 D．34、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5、（2021·全国高三专题练习）设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.6、（2021·山东济宁市·高三二模）已知函数，若，则的最小值是（）A． B． C． D．7、（2021·山东高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（）A． B． C． D．8、（2021·上海高一（2021·山东高三二模）已知函数，则关于的方程的实根的个数是___.9、（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.专题07分段函数的研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，其中a为常数，则的值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数满足，所以函数的周期为，又由当时，，因为函数奇函数，所以，所以，则，，令，可得，可得，所以.故选：B变式1、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数，则______．【答案】1【解析】根据题意，，则；故答案为1．变式2、（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数，则（）A． B． C．7 D．11【答案】C【解析】，故选：C.变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1【答案】B【解析】因为对任意和任意恒有，根据已知条件可得：对任意恒成立，即，，，当时有，即故选：B题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)；【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.变式1、（2021·浙江高三期末）已知，则______；若，则______．【答案】41或【解析】∵，∴；∵，∴当时，，解得，当时，，解得.故答案为：4；1或.变式2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.变式3、（2021·山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以或，画出的大致图象，如图，因为，所以，因为直线与函数的图象有1个交点，直线与函数的图象有2个交点，故方程的解的个数是3.故选：B.题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例3、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即综上所述可得：变式1、（2020·河南罗山县教学研究室高三其他（理））已知函数单调递减，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意得，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：变式2、（2020·全国高三专题练习（理））设函数，则满足的取值范围是______.【答案】【详解】当时，，因此函数是单调递减函数，因此有.当时，则有或或解（1）得：，解（2）得：，解（3）得：，综上所述：的取值范围是.故答案为：题型四分段函数的定义型问题本题考查函数的新定义，关键在于抓住函数的定义，把握住间减函数的实质，结合函数的单调性得以解决问题．例4、（2021·全国高三专题练习）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（）A．当时，的值域为；当时，的值域为B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】BCD【分析】根据值域的定义可判断A；设任意，，利用周期的定义可判断B；利用偶函数的定义可判断C；实数的稠密性，函数值在和之间无间隙转换可判断D.【详解】的函数值只有两个，的值域为，故A错误；设任意，，则，，故B选项正确；若，则，；若，则，；所以为偶函数，故C正确；由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确．故选:BCD．变式1、（2021·全国高三月考（理））如果函数在区间上和区间上都是减函数，且在上也是减函数，则称是上的间减函数，如是上的间减函数．是即上的间减函数，是上的间减函数，不是上的间减函数，不是上的间减函数．以下四个函数中：①，②，③，④．其中是间减函数的是______（写出所有正确答案的序号）．【答案】①③【分析】根据间减函数的定义逐一判断可得答案．【详解】对于①：是在R上的间减函数；对于②：在上是减函数，在上是减函数，但在不是减函数，所以在R上不是间减函数；对于③：在上是减函数，在上是减函数，并且在上是减函数，所以在上是间减函数；对于④：在上是减函数，但在是增函数，所以在R上不是间减函数，所以是间减函数的是①③，故答案为：①③．1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．【答案】【解析】因为，所以，应填答案.2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案为：；3、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知函数，若，那么实数的值是（）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，变成，即，解之得：.故选：C.4、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A5、（2021·全国高三专题练习）设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.【答案】【分析】分别计算f()和f()，解方程求出m.【详解】由f()=f()可得：，解得：故答案为：16、（2021·山东济宁市·高三二模）已知函数，若，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设.由可得：，解得：，所以记，任取，则。因为，所以，所以，所以则在上单调递减，所以故选：C7、（2021·山