数学学案：第三章第节归纳与类比（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2类比推理1．理解类比推理的概念，能利用类比推理进行简单的推理，掌握类比推理解决问题的思维过程．2．理解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学发展中的作用．1．两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上,根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为__________．类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程．学习立体几何常常通过类比平面几何,发现和得到一些立体几何的结论．2．类比推理是两类事物______之间的推理，根据解决问题的需要，可对______、______、______进行类比．两类事物有一定的相似之处，可以是实数与向量、实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何，也可以是不同的圆锥曲线．数学的许多分支都有相通之处,也有可类比之处，这有助于我们研究一些陌生的问题，但利用类比推理得出的结论不一定正确，还需要严格的推理证明．这一点与归纳推理类似．【做一做】类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等"的性质，可推知正四面体有下列性质：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．其中正确的是（)．A．① B．①② C．①②③ D．③3．归纳推理和类比推理是最常见的________．________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的．学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力．合情推理只是一种猜测，结论不一定正确．答案：1．类比推理2．特征概念结论方法【做一做】C3．合情推理合情推理1．类比推理的使用范围剖析：类比推理是根据两类不同对象在某些方面的相似之处，推测出这两类对象在其他方面也可能有相似之处．两类事物的相似性或共同性是类比推理的前提，一般来说，类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关,得出的结论可靠性越大．2．合情推理的过程剖析:合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理,充分挖掘已有的事实，寻找规律或类比．其过程为eq\x(\a\al（从具体问,题出发）)→eq\x（\a\al（观察、分析、，比较、联想)）→eq\x(归纳、类比）→eq\x(提出猜想）.3．对合情推理是科学发现和创造的基础这一问题的理解剖析：数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到的．合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来．这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，要证明命题或定理,还需运用严格的逻辑分析加以证明．题型一等差数列与等比数列之间的类比【例题1】已知一个等差数列{an｝，其中a10＝0,则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n＜19，n∈N＋)．一个等比数列｛bn｝，其中b15＝1，类比等差数列｛an｝有何结论？分析：在等差数列｛an｝中，a10＝0，则以a10为等差中项的项和为0，如a9＋a11＝a8＋a12＝…＝a2＋a18＝a1＋a19＝0，而在等比数列{bn}中,b15＝1，类似地有b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，从而类似的总结规律应为各项之积．反思:本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力．对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比．题型二平面几何与立体几何之间的类比【例题2】六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,在▱ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2），那么在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，ACeq\o\al（2,1)＋BDeq\o\al(2，1）＋CAeq\o\al（2,1)＋DBeq\o\al(2,1）等于（)．A．2（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1）) B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al（2,1）)C．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1）） D．4（AB2＋AD2)反思：由平面几何发展到空间立体几何，往往有许多相似之处，有许多结论可以进行类比得到，只不过是由二维变成三维而已．题型三不等式结论的类比【例题3】若a1，a2∈R＋，则有不等式eq\f(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2,2），2)≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a1＋a2，2)）)2成立，此不等式能推广吗?如果能，请你至少写出两个不同类型的推广．分析：注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散．反思:像这样的类比推广问题，可采用纵、横推广法,如本例中，第一种类型是从个数上进行推广--横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广;第三种类型则是纵、横综合推广．题型四圆锥曲线中的类比【例题4】有对称中心的曲线叫作有心曲线，显然,椭圆、双曲线都是有心曲线．过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径．定理:过圆x2＋y2＝r2(r＞0）上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－1.(1）写出定理在椭圆eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0）中的推广;(2)写出定理在双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0,b＞0）中的推广，你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线)的一般性结论吗?请写出你的结论．分析：本题引进了新概念．在理解新概念的基础上，利用类比推理和归纳推理得出一般性的结论．反思:在类比时，要注意相同之处,并抓住差异进行合理的类比．圆中的斜率之积为－1，但椭圆、双曲线中，x2，y2项的系数不同，所以斜率之积不再是－1，而是－eq\f(b2，a2）,eq\f(b2,a2)。从而归纳出Ax2＋By2＝1的一般性结论只与x2,y2项的系数有关．答案：【例题1】解：∵在等差数列{an｝中，a10＝0,∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0,即1≤n＜19时,a19－n＋an＋1＝0,a18－n＋an＋2＝0,a17－n＋an＋3＝0，……∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a19－n。在等比数列｛bn｝中，∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1.∴b1b2…bn＝b1b2…b29－n（1≤n＜29，n∈N＋)．【例题2】C如图所示,四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形，从而有ACeq\o\al(2,1）＋CAeq\o\al（2，1)＝2（AC2＋AAeq\o\al（2,1))，BDeq\o\al(2，1）＋DBeq\o\al(2，1）＝2（BD2＋BBeq\o\al(2,1）)，所以ACeq\o\al（2,1)＋CAeq\o\al（2，1)＋BDeq\o\al（2,1）＋DBeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋BD2)＋4AAeq\o\al（2，1）＝4（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1）)．【例题3】解：第一种类型：eq\f（a\o\al（2,1)＋a\o\al(2，2)＋a\o\al(2,3），3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a1＋a2＋a3，3))）2，eq\f（a\o\al（2,1）＋a\o\al（2,2)＋a\o\al（2,3）＋a\o\al(2，4）,4)≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋a4，4）))2，……eq\f(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2，2）＋…＋a\o\al(2，n),n)≥eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n）））2.第二种类型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al（3，2）,2）≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2）))3，eq\f（a\o\al（4，1)＋a\o\al(4，2)，2）≥eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a1＋a2，2)))4,……eq\f（a\o\al(n，1)＋a\o\al(n,2)，2）≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)））n。第三种类型：eq\f(a\o\al（3，1)＋a\o\al（3，2）＋a\o\al(3,3)，3）≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3，3)）)3，eq\f（a\o\al（4,1）＋a\o\al（4,2)＋a\o\al(4，3)＋a\o\al（4，4)，4)≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a1＋a2＋a3＋a4,4)))4……eq\f(a\o\al(n,1）＋a\o\al（n,2）＋…＋a\o\al（n，n）,n)≥eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋…＋an，n)））n.【例题4】解：(1)在椭圆中的推广：过椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a＞b＞0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－eq\f(b2，a2）.（2)在双曲线中的推广：过双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0,b＞0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值eq\f（b2，a2).在有心圆锥曲线中的推广：过有心圆锥曲线Ax2＋By2＝1（AB≠0)上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值－eq\f（A，B)。1平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由类比思想，我们可以得到（）．A．空间中平行于同一条直线的两条直线平行B．空间中平行于同一个平面的两条直线平行C．空间中平行于同一条直线的两个平面平行D．空间中平行于同一个平面的两个平面平行答案：D一般来说平面几何中的线要类比到空间中的平面，所以虽然选项A中结果正确，却不能算作类比结果．2等比数列｛an｝满足:m,n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.由类比推理可得｛an｝为等差数列，若m＋n＝p＋q,则（）．A．am·an＝ap·aq B．am＋an＝ap＋aqC. D．am－an＝ap－aq答案：B3下面类比推理所得结论正确的是______．①由（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2类比得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②由｜a｜＝｜b|⇒a＝±b（a，b∈R)类比得|a|＝｜b|⇒a＝±b;③由ax＋y＝ax·ay（a∈R)类比得sin（α＋β）＝sinα·sinβ;④由(ab)c＝a(bc）（a，b，c∈R)类比得(a·b)·c＝a·（b·c）．答案:①逐一进行判断．①正确，向量的数量积运算就按多项式乘法法则运算．②不正确，向量既有大小,又有方向，大小相等不能说明方向相同或相反．③由两角和的三角函数公式可知不正确．④向量的数量积不满足结合律．这是因为a·b∈R，b·c∈R，但a与c不一定共线，(a·b)·c∥c，a·（b·c)∥a，所以不一定成立．4若数列{an}（n∈N＋）是等差数列，则通项公式为（n∈N＋)的数列{bn｝也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列｛cn｝(n∈N＋）是等比数列，且cn＞0，则通项公式为dn＝______（n∈N＋）的数列{dn}也是等比数列．答案：等差数列中由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得，仍为等差数列．而等比