数学学案：第三讲三排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精三排序不等式1．掌握排序不等式的推导和证明过程．2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．1．基本概念设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组实数，c1，c2，c3，…,cn是数组b1，b2,…，bn的任何一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组（a1，a2，…，an)和(b1,b2,…，bn）的______和;S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做数组（a1，a2，…，an）和（b1，b2,…，bn）的______和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组（a1，a2，…，an)和(b1,b2,…,bn)2．排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列,则__________________≤______________________≤____________________.当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．分析题目时要找到原始的两组实数．【做一做1－1】设a1，a2,…，an为实数，b1,b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．【做一做1－2】已知a，b，c为正数，P＝eq\f（b2c2＋c2a2＋a2b2,a＋b＋c）,Q＝abc，则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q答案:1．反序顺序乱序2．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbna1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…【做一做1－1】a1an＋a2an－1＋…＋ana1【做一做1－2】D取两组实数（b2c，c2a,a2b）和(a,b，c则顺序和为ab2c＋abc2＋a2bc＝abc（a＋b＋c），乱序和为b2c2＋a2c2＋a2由排序不等式得abc(a＋b＋c)≥b2c2＋a2c2＋a2b即abc≥eq\f（b2c2＋a2c2＋a2b2,a＋b＋c).1．对排序不等式的证明的正确理解剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一构造数组利用排序不等式证明【例1】设a,b，c都是正数，求证：eq\f(bc，a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c。分析：不等式的左边，可以分为数组ab，ac,bc和eq\f（1，c)，eq\f(1，b),eq\f(1，a），排出顺序后，可利用排序原理证明．反思：要利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础．题型二需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况【例2】设a，b,c为正数,求证：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2，2a)＋eq\f(c2＋a2，2b）≤eq\f(a3，bc)＋eq\f(b3，ca)＋eq\f(c3，ab).分析:解答本题时不妨先设定0＜a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．反思：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．答案：【例1】证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，eq\f（1，c)≥eq\f(1，b）≥eq\f(1，a).由排序原理，知ab×eq\f(1,c）＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b）＋ac×eq\f（1，a）＋bc×eq\f(1，c）,即所证不等式eq\f（bc,a）＋eq\f（ca,b）＋eq\f（ab,c)≥a＋b＋c成立．【例2】解：不妨设0＜a≤b≤c，则a3≤b3≤c3.0＜eq\f(1，bc)≤eq\f(1，ca)≤eq\f(1,ab)，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a3·eq\f（1，ca）＋b3·eq\f(1,ab)＋c3·eq\f（1，bc)≤a3·eq\f（1，bc）＋b3·eq\f（1，ca）＋c3·eq\f（1，ab），①a3·eq\f（1,ab）＋b3·eq\f（1,bc）＋c3·eq\f(1，ca)≤a3·eq\f(1,bc）＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab）.②将①②两式相加，得eq\f(a2＋b2,c)＋eq\f(b2＋c2，a)＋eq\f（c2＋a2,b)≤2（eq\f(a3,bc）＋eq\f(b3，ca)＋eq\f(c3,ab))，将不等式两边除以2，得eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f（b2＋c2，2a）＋eq\f(c2＋a2,2b）≤eq\f(a3,bc）＋eq\f（b3,ca）＋eq\f(c3,ab）。1．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3，4，5)重新排列记为c1,c2，c3,c4,c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5cA．132,6 B．304,212 C．22,6 D．2设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则的最小值为(）A．3 B．6 C．9 D．3．设a1，a2,a3为正数，E＝,F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是（)A．E＜F B．E≥F C．E＝F D．E≤F4．某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．5．设a，b都是正数，求证：≥.答案：1．B2。A3．B不妨设a1≥a2≥a3＞0,于