数学成长训练第一讲三简单曲线的极坐标方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1。已知点P(）,若点P的极角θ满足-π<θ〈π，ρ∈R,下列点中与点P重合的是()A。B.C。D。解析:当—π≤θ≤π时，ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外，点极坐标分别为唯一。当ρ∈R时，一个点的极坐标只有两个形式：（—，-）或（2，）.答案:D2。圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是（）A。(1，）B.（）C。(）D.(2，)解析:圆的方程可化为ρ=2cos（θ—）.这是ρ=2rcos(θ-θ0）形式,它的圆心为O′（r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解。答案：A3。极坐标系中,方程ρ=cosθ（θ∈[0，π]，ρ∈R)表示的曲线是(）A。以(,0）为圆心，半径为的上半个圆B.以(，0)为圆心，半径为的圆C.以（1,0）为圆心,半径为的上半个圆D.以(，)为圆心，半径为的圆解析:当ρ≥0时，θ∈[0，］,方程ρ=cosθ表示上半个圆，半径为,当ρ≤0时,θ∈[,π],方程表示下半个圆，半径为.答案：B4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是(）A.K≠0B。K∈RC.｜K｜〉2D。|K|≤2解析：当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K，若此方程无解，由|sinθ+cosθ|≤,∴当｜K|〉2时,方程无解。答案：C5.在极坐标系中，点P（2,）到直线ρsin(θ-）=1的距离等于（)A。1B.2C。3D。1+3解法一：∵xP=2cos=,yP=2sin=-1，∴P点的直角坐标为(，-1）.又直线ρsin(θ-）=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.∴P点到直线的距离为d=｜—-·—1｜=1+。解法二:直线ρsin（θ—)=1与直线θ=平行，且距离为1.过P点作PH垂直于直线ρsin（θ—）=1，垂足为H，设PH交直线θ=于M,在Rt△POM中，OP=2,∠POM=。∴PM=2sin=。故P点到直线ρsin（θ-)=1的距离为1+.答案:D6。点M在直线ρcosθ=a(a>0)上,O为极点,延长OM到P使|MP｜=b(b>0）,则P的轨迹方程是________。解析:设M(ρ0,θ0），P(ρ,θ）,则ρ0cosθ0=a，ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可.答案:（ρ-b)cosθ=a7.画出极坐标方程（θ—）ρ+（-θ)sinθ=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式，分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解：如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ—sinθ)=0,∴θ—=0，即θ=为一条射线,或ρ—sinθ=0为一个圆.8。证明过A（ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂，但是，只要我们理清求曲线方程的步骤，问题是不难解决的。我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来。解:设M（ρ,θ）为直线AB上一点，如图，∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2—θ1）,S△AOM=ρρ1sin（θ—θ1），S△BOM=ρρ2sin（θ2—θ），又S△AOB=S△AOM+S△BOM，∴ρ1ρ2sin(θ2—θ1)=ρρ1sin（θ—θ1)+ρρ2sin（θ2—θ),即9。已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B，求AB中点M的轨迹方程。解:设M（ρ，θ），A（ρ1，θ1)，B(ρ2,θ2）,则有∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1.10.从原点O引直线交直线2x+4y—1=0于点M,P为OM上一点,已知｜OP|·|OM|=1,求P点的极坐标方程。解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关，可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系。解：如图，以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后，直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M（ρ0,θ0）,P(ρ,θ）,则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0。又，知代入2cosθ+4sinθ-1=0，∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).11.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.解析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。解法一:如图，圆C的圆心C（4,0），半径r=｜OC｜=4,连结CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ。解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题。设M点的坐标是（ρ,θ），N（ρ1，θ1).N点在圆ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1.（*)∵M是ON的中点，∴将它代入(＊)式得2ρ=8cosθ，故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.12。O为已知圆外的定点，M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时，求点N的轨迹方程（O、M、N逆时针排列)。解：以O为极点，以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图，设|OO′｜=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02—r2=0，设N(ρ,θ），M(ρ1，θ1)，∵M在圆上，∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02—r2=0。①∵△OMN为正三角形，∴代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ—）+ρ02—r2=0，这就是点N的轨迹方程.走近高考1.（经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B。x2+（y-2）2=4C。(x—2）2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析：在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.再利用可得x2+y2=4y,即x2+（y-2)2=4。答案:B2。（经典回放）在极坐标系中，过点M(2，)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________。解析：如图所示,设P(ρ,θ)为直线上任一点，连结PO,作PA垂直极轴于点A.在Rt△PAO中，|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2。∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.答案:ρsinθ=23。(经典回放）设有半径为4的圆,它在极坐