数学成长训练：平面向量数量积的物理背景及其含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1。有四个式子：①0·a=0；②0·a=0;③0—=;④｜a·b｜=｜a｜·|b｜.其中正确的个数为()A。4B。3C。2D.1解析：0·a表示零向量与任意向量a的数量积，数量积是一个数,而不是向量；0·a表示实数与向量a的积，其结果应为零向量，而不是零;对a、b数量积的定义式两边取绝对值,得|a·b|=｜a|·|b|｜cosθ|，只有θ=0,π时,|a·b｜=|a|·|b｜才成立.只有0-=-=正确.答案:D2。在△ABC中,=a,=b,且a·b＞0，则△ABC是（)A。锐角三角形B。直角三角形C。钝角三角形D.不能确定解析：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应为180°—∠B。因为a·b=｜a｜·|b｜cos（180°—B）=—｜a｜·｜b|cosB＞0，所以cosB＜0.又因为∠B∈(0°,180°)，所以∠B为钝角.所以△ABC为钝角三角形.答案:C3.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a+3b|等于(）A。B.C.D。4解析：|a+3b|2=（a+3b)2=a2+9b2+6｜a|·|b|cos60°=13。答案：C4.若a为非零向量,a·b=0，则满足此条件的向量b有（)A.1个B。2个C.有限个D。无限个解析:由数量积性质知a·b=0a⊥b,而垂直于a答案：D5.｜a｜=4，a与b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为___________.解析：a1=|a|cos30°=4×.答案：6.边长为的等边△ABC中,设=c,=a，=b,则a·b+b·c+c·a=_____________.解析：由题意知〈a,b〉=,〈b,c〉=,〈c,a〉=，∴a·b+b·c+c·a=3｜a|·｜b｜cos=3×2×(-)=—3。答案：-37。对任意向量a、b,|a|·｜b|与a·b的大小关系是________________。解析:由数量积定义a·b=｜a｜·｜b|cos〈a,b>,由于cos<a,b>∈[-1,1］,所以｜a|·|b｜≥a·b.答案：|a|·｜b｜≥a·b8。已知△ABC中,a=5,b=8,∠C=60°,求·。解：因为｜|=a=5，|｜=b=8,〈，〉=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=｜|·｜｜·cos〈，〉=5×8cos120°=—20。9.已知a、b是非零向量，当a+tb（t∈R)的模取最小值时,（1)求t的值；（2)已知a与b共线同向，求证：b⊥（a+tb).（1)解：令m=|a+tb|,θ为a、b夹角，则m2=|a｜2+2a·tb+t｜b｜=t2｜b｜2+2t|a｜·|b|cosθ+|a｜2=|b｜2(t+cosθ）2+|a｜2sin2θ。∴当t=—cosθ时,|a+tb|有最小值|a|2sinθ。（2）证明:∵a与b共线且方向相同,故cosθ=1。∴t=-.∴b·（a+tb）=a·b+t｜b|2=|a|·｜b｜—|a|·｜b｜=0.∴b⊥(a+tb）。10.设平面内两向量a、b互相垂直，且|a｜=2,｜b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数。(1）若x=a+（t-3)b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数关系式k=f(t）;（2）求函数k=f(t）的最小值。解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0。又x⊥y，∴x·y=0,即［a+(t-3)b］·［-ka+tb]=0。-ka2-k（t—3）a·b+ta·b+t（t—3）b2=0。∵|a|=2,|b｜=1,∴—4k+t2—3t=0,即k=（t2-3t）.(2)由（1）,知k=（t2-3t）=(t—）2-，当t=时，函数最小值为—.走近高考11.（2004浙江高考）已知平面上三点A、B、C满足｜|=3,｜|=4，|｜=5,则·+·+·=______________.解析：因为｜｜2+｜｜2=||2,所以△ABC为直角三角形,其中∠B=90°.所以·+·+·=0+|｜·｜｜cos(π-C)+||·｜|·cos（π-A)=—4×5×-5×3×=—25.答案：-2512。（经典回放）已知直线ax+