数学层级训练：一次函数的性质与图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2一次函数和二次函数2．2.1一次函数的性质与图象知识点一：一次函数的概念1．函数y＝（m2－4）x＋2m是关于x的一次函数，则m的取值范围是A．m≠2B．m≠－2C．m≠±2D．m为任意实数2．若函数y＝（t－2）xt2－t－1是正比例函数，则t的值是A．2B．－1C．2或－13．如果ab〉0，bc〈0，那么一次函数ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是4．当m＝__________时，函数y＝(2m－1)x＋1－3m与y＝x＋1图象的交点在x轴上．知识点二：一次函数的性质5．已知y＝(m－1）xm2－3m＋3是一次函数，且y随x的增大而增大，则m的值为A．1B．2C．大于16．已知一次函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与y轴上的截距分别为A。eq\f(1，2），eq\f（7，2）B．1，－7C．1,eq\f(7,2)D．－eq\f(1，2），eq\f（7，2)7．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限,那么A．k>0，b>0B．k>0，b〈0C．k<0，b>0D．k〈0，b<08．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的9．已知点A(－4，a)，B(－2,b）都在直线y＝eq\f（1,2）x＋k（k为常数)上，则a和b的大小关系为a__________b。10．已知y＋5与3x＋4成正比例，当x＝1时，y＝2。(1）求y与x的函数关系式．（2)求当x＝－1时，y的值；当y＝8时，x的值．（3)如果y的取值范围为[0,5]，求x的取值范围．11．已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m,m为何值时，(1)这个函数为一次函数？（2)函数在定义域上是减函数？（3)这个函数的图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上？能力点一：一次函数的概念及性质的应用12．若k,b是一元二次方程x2＋px－|q|＝0的两个实根(k·b≠0），在一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图象一定经过A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限13．下列函数中，是一次函数的为__________．(1)y＝x2＋1(2）y＝｜x|(3)y＝kx＋3（4）y＝2x＋6(5）y＝eq\r(x)（6)y＝3x（7)y＝eq\f(7，x）（8）y＝eq\f(x,2x＋1）14．已知一次函数y＝(m－2）x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m＝__________.15．若函数y＝ax－2与y＝bx＋3的图象与x轴交于同一点，则eq\f(a,b)＝__________。16．已知一次函数y＝(n－2)x＋n的图象与y轴交点的纵坐标为－1,判断函数y＝（3－eq\r(5))xn＋2是什么函数，写出这两个函数的解析式,并指出这两个函数在直角坐标系中的位置及增减性．17。已知函数f(x）的图象关于y轴对称，当－1≤x〈0时,f(x）＝x＋1,求当0<x≤1时，f（x)的表达式．能力点二:一次函数的综合问题18．设一次函数图象经过点A(2，0）和B(－2,1），则该函数的解析式为__________．19．教师给出一个函数y＝f(x)，让甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限;乙：函数图象经过第一象限；丙:在区间(－∞,2）上，函数y＝f(x)为减函数;丁：当x〈2时,y〉0.已知这四位同学的叙述都正确，请构造满足上述所有性质的一个函数为__________．20．已知直线y＝－eq\f（b，4)x－4和直线y＝eq\f（1,a）x＋eq\f（2,a)交于点P（1,3)，求a、b的值，并求出两直线与x轴所围成的三角形的面积．21．设f（x）＝2－ax，若在[1，2]上，f(x)>1恒成立，求a的取值范围．22．已知一次函数y＝(6＋3m)x＋（n－4）,求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小?(2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方?(3）m,n分别为何值时,函数图象过原点O（0,0）？答案与解析基础巩固1．C2．B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－2≠0，，t2－t－1＝1，）)解得t＝－1.3．A由ax＋by＋c＝0，得y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c，b)。∵ab>0，bc〈0，∴－eq\f（a，b）<0，－eq\f（c，b）>0，即一次函数的斜率小于0且在y轴上的截距大于0,故选A。4。eq\f(2，5）设交点为(x0，0），则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋1＝0，,2m－1x0＋1－3m＝0，））解得m＝eq\f(2，5）。5．B由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1，，m－1>0，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1或2,,m>1,）)∴m＝2.6．A7.B8.A9.<10．解：（1)由题意，设y＋5＝k（3x＋4)，把x＝1，y＝2代入，得7＝k(3＋4)，∴k＝1。∴y＋5＝3x＋4，即y＝3x－1.（2)由题意可得，当x＝－1时，y＝3×(－1）－1＝－4;当y＝8时，8＝3x－1，得x＝3.(3）由0≤y≤5,可得0≤3x－1≤5,即1≤3x≤6。∴eq\f(1，3)≤x≤2。11．解：(1)当m≠eq\f(1，2）时，这个函数为一次函数．(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1<0,即m<eq\f（1，2)时，函数在其定义域上是减函数．（3)∵直线y＝x＋1与x轴交于点（－1,0），代入y＝(2m－1)x＋1－3m中，得1－2m＋1－3m＝0。∴m＝eq\f(2,5)。能力提升12．A由条件知,k·b＝－｜q｜<0,又∵y＝kx＋b为减函数，∴k〈0，故b〉0。∴选A。13．（4)（6)14．1由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－3m－2＝－4,，m－2≠0，））得m＝1.15。eq\f(8，3)由方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝ax－2,，y＝bx＋3,)）可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,a－b）,,y＝\f(3a－8b，a－b)，))由于两函数交点在x轴上，所以y＝0,即3a－8b＝0。因此eq\f（a，b）＝eq\f(8，3）.16．解:当x＝0时，y＝n。∵y＝(n－2）x＋n的图象与y轴交点纵坐标为－1，∴n＝－1。此时,一次函数y＝（n－2）x＋n为y＝－3x－1；y＝（3－eq\r（5)）xn＋2为y＝(3－eq\r(5)）x.∵－3<0,3－eq\r（5）>0，∴y＝(n－2)x＋n在R上递减，y＝(3－eq\r(5)）xn＋2在R上递增，两函数图象如图．17．解：当0<x≤1时，－1≤－x〈0，∴f(－x）＝－x＋1。又∵f（x）的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数．∴f（x)＝f(－x）＝－x＋1，即当0〈x≤1时，f(x)＝－x＋1.18．y＝－eq\f(1，4)x＋eq\f（1,2)19.y＝－x＋2(只要是形如y＝kx－2k(k<0）的函数即可）20．解:由已知，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（b,4）－4＝3，,\f（1,a)＋\f（2,a)＝3，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－28.))∴已知直线分别为y＝7x－4，y＝x＋2。分别令y＝0,得A(－2，0)，B(eq\f（4,7）,0），∴S△PAB＝eq\f（1,2)｜eq\f(4，7)－（－2）|×3＝eq\f（27，7)，即两直线与x轴所围成的三角形面积为eq\f(27，7)。21．解：要使f（x）〉1在［1，2］上恒成立，只需f(x)的最小值大于1.∴当a<0时，f(x)在［1,2]上单调递增．∴f（x)的最小值为f（1）＝2－a.∴2－a〉1，即a〈1.∴a<0；当a〉0时，f（x)在［1,2]上单调递减，∴f（x）的最小值为f(2）＝2－2a.∴2－2a>1。解得a<eq\f（1,2）.∴0〈a〈eq\f(1，2).当a＝0时,f（x)＝2>1恒成立．综上，a的取值范围为(－∞，0）∪（0，eq\f(1，2）)∪{0}＝(－∞，eq\f（1,2)）．拓展探究22．解：(1）∵y＝(6＋3m)x＋(n－4）随x的增大而减小,∴6＋3m〈0.∴m〈－2.(2）当x＝0时，y＝n－4。当函数图象与y轴的交点在x轴下方时，y<0，得n－4<0，所以n<4.∴当m∈R，n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方．（3)当一次函数y＝(6＋3m）x＋n－4的图象过点(0,0）时，应有0＝n－4，解得n＝4。∴当m∈R，n＝4时，函数图象过原点（0,0）．2．2。2二次函数的性质与图象～2.2。3待定系数法基础巩固1．B2．Dy＝x2＋2x－2＝（x＋1）2－3,∴顶点为（－1，－3)．3．C4．(1）C(2)D（3）B5．A由题意，知1≤eq\f（2a,2×－1)≤2，∴1≤a≤2.6．C∵f(x)＝－（x－2)2＋a＋4,∴f（x）图象的对称轴为x＝2.∴f（x）在［0，1]上单调递增．∵f（x）min＝－2,即f(0)＝－2，即a＝－2,∴f(x)max＝f（1）＝1.7．m〉eq\f(9，2)8．(－eq\f(1,4），eq\f（1，4））9．解:∵y＝－3x2＋5x－6＝－3（x－eq\f（5,6））2－eq\f（47，12），∴函数图象的对称轴是x＝eq\f（5,6)，顶点是(eq\f（5,6)，－eq\f（47，12）)，在(－∞，eq\f（5,6）］上是增函数,在[eq\f（5，6)，＋∞）上是减函数．10．2x－5设g（x)＝kx＋b(k>0）,f［g（x)]＝f（kx＋b)＝（kx＋b)2＝k2x2＋2kbx＋b2＝4x2－20x＋25，比较两边系数得k＝2，b＝－5，所以g(x)＝2x－5。11．y＝eq\f(1，5)x2＋eq\f（8,5）x＋312．解:设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0），则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1）＋c＝9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c。∴9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5。比较两边系数，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(9a＝9,6a＋3b＝－6,a＋b＋c＝5））eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－4，,c＝8。)）∴f(x)＝x2－4x＋8。能力提升13．A由题意，知－eq\f（－m，2×2)＝2，∴m＝8.∴f(1）＝2×12－8×1＋3＝－3.14．D15．D由f（－x)＝f(x),得m2－1＝0，∴m＝±1.故f（x）＝1或f（x）＝－2x2＋1.∴选D。16.eq\f（4，3）∵f(x）＝eq\f（1,1－x1－x)＝eq\f(1,x2－x＋1)＝eq\f(1，x－\f（1,2)2＋\f(3,4))，∴f（x)≤eq\f(4，3)，即f(x）有最大值eq\f(4,3).17．解：y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3（x＋eq\f（1，3))2＋eq\f（2，3）.(1)顶点坐标为(－eq\f（1，3)，eq\f（2，3）），对称轴是直线x＝－eq\f(1,3）。(2)当x＝－eq\f（1，3)时，ymin＝eq\f（2,3)。(3)∵函数图象关于直线x＝－eq\f（1,3）对称,∴f(－eq\f(1，3）－x)＝f（－eq\f（1，3）＋x）．∴f(0）＝f(－eq\f(1，3)＋eq\f(1,3）)＝f（－eq\f(1，3)－eq\f(1,3）)＝f（－eq\f(2，3)）＝1。(4)∵f（－eq\f（3,4）)＝f（－eq\f（1，3)－eq\f(5，12））＝f（－eq\f(1，3)＋eq\f(5,12))＝f(eq\f（1,12)），而函数在［－eq\f（1，3),＋∞)上是增函数,eq\f（1，12)〈eq\f（15,4)，∴f(eq\f（1，12）)〈f（eq\f（15，4)）,即f(－eq\f(3,4)）<f（eq\f（15，4))．18．解：(1)当a＝－2时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1)2＋1，∴f(x）的图象的对称轴是x＝1.∴f（x）在［－2，1］上递减，在(1,3］上递增．∴当x＝1时，ymin＝1。∵f（－2）＝10,f(3）＝5,∴f(－2)>f（3)〉f(1)．∴当x＝－2时，ymax＝10。（2）∵f（x)＝[x＋（a＋1）]2＋2－（a＋1)2，∴函数f(x）的图象对称轴为x＝－(a＋1)．当f（x）在[－2,3]上单调递减时,有－（a＋1)≥3,即a≤－4；当f(x)在[－2，3］上单调递增时，有－(a＋1）≤－2，即a≥1.综上所述，当a≤－4或a≥1时，函数f(x)在[－2,3]上是单调函数．19．解：解法一：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c。则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(c＝1\f（2,3)，，100a＋10b＋c＝0，,\f(4ac－b2，4a)＝3，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－\f（1,12）,,b＝\f(2，3），，c＝\f（5，3）。))∴y＝－eq\f(1，12）x2＋eq\f(2,3）x＋eq\f（5,3）.解法二：设抛物线解析式为y＝a（x－h）2＋3。则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1\f（2，3)＝ah2＋3，，0＝a10－h2＋3，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－\f(1,12），,h＝4.)）∴y＝－eq\f(1，12）(x－4)2＋3,即y＝－eq\f(1，12)x2＋eq\f（2,3)x＋eq\f(5，3)。20．解:(1)∵CD＝10，∴DF＝eq\f(1，2)CD＝5。AB＝20,BE＝eq\f（1，2)AB＝10.设抛物线方程为y＝ax2，则D（5，y0）．∴B的坐标为(10，y0－3）．又∵点D、B都在抛物线y＝ax2上，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y0＝25a,,y0－3＝100a。））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,25),,y0＝－1.）)∴抛物线