2025届湖南长沙市岳麓区九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共4页2025届湖南长沙市岳麓区九年级数学第一学期开学联考试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为（）A． B． C． D．2、（4分）如图，中俄“海上联合—2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（）A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60°3、（4分）下面四个二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．4、（4分）下列式子从左至右变形不正确的是（）A．= B．=C．=- D．=5、（4分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm26、（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC的度数是（）A．15° B．20° C．40° D．50°7、（4分）函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、（4分）如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．280 B．140 C．70 D．196二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则=_______．10、（4分）当x=________时，分式的值为011、（4分）一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于__．12、（4分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________．13、（4分）在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD的和是1．菱形的边AB＝5，则菱形ABCD的面积是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）阅读下列材料：关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．15、（8分）已知一次函数的图象经过A(﹣2，﹣3)，B(1，3)两点，求这个一次函数的解析式．16、（8分）某校为加强学生安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分100分）进行统计，请根据尚为完成的频率和频数分布直方图，解答下列问题：分数段频数频率50.5～60.5160.0860.5～70.5400.270.5～80.5500.2580.5～90.5m0.3590.5～100.524n（1）这次抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中m=______，n=______；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？17、（10分）已知四边形中，，垂足为点，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为上一点，连接，，求证：；(3)在(2)的条件下，如图3，点为上一点，连接，点为的中点，分别连接，，＋＝＝，，求线段的长．18、（10分）某中学为了解该校学生的体育锻炼情况，随机抽查了该校部分学生一周的体育锻炼时间的情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上信息解答以下问题：（1）本次抽查的学生共有多少名，并补全条形统计图；（2）写出被抽查学生的体育锻炼时间的众数和中位数；（3）该校一共有1800名学生，请估计该校学生一周体育锻炼时间不低于9小时的人数.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）汽车开始行驶时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，则油箱内余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式为_____．20、（4分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，数据0.0000077用科学记数法表示为________21、（4分）已知正方形，以为顶角，边为腰作等腰，连接，则__________．22、（4分）把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____．23、（4分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是AB中点，E是边BC上一动点，连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，若CF=，则BE=_________。二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某市现在有两种用电收费方法：分时电表普通电表峰时（8:00～21:00）谷时（21:00到次日8:00）电价0.55元/千瓦·时电价0.35元/千瓦·时电价0.52元/千瓦·时小明家所在的小区用的电表都换成了分时电表.解决问题：（1）小明家庭某月用电总量为千瓦·时（为常数）；谷时用电千瓦·时，峰时用电千瓦·时，分时计价时总价为元，普通计价时总价为元，求，与用电量的函数关系式.（2）小明家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？（3）下表是路皓家最近两个月用电的收据：谷时用电（千瓦·时）峰时用电（千瓦·时）181239根据上表，请问用分时电表是否合算？25、（10分）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=1．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．26、（12分）计算：(1).(2).(3).(4)解方程：.

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】

由正方形的性质得BC=CD=4，∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°，再证出四边形四边形MECF是矩形，得出CE=MF=DF，即当点M为BD的中点时EF的值最小.【详解】在边长为4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°于于F∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°四边形MECF是矩形，△MDF为等腰三角形CE=MF=DF设DF=x,则CE=xCF=CD-DF=4-x在RT△CEF中，由勾股定理得==，当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值0当且仅当x-2=0时，即x=2时，有最小值故选B。本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.2、C【解析】【分析】由题意可知OA=18，OB=24，AB=30，由勾股定理逆定理可知∠AOB=90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向.【详解】如图，由题意得：OA=12×1.5=18，OB=16×1.5=24，∵AB=30，∴OA2+OB2=182+242=900=302=AB2，∴∠AOB=90°，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，∴二号舰航行的方向是南偏东60°，故选C.【点睛】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键.3、A【解析】分析：根据最简二次根式的概念进行判断即可．详解：A．是最简二次根式；B．被开方数含分母，故B不是最简二次根式；C．被开方数含能开得尽方的因数，故C不是最简二次根式；D．被开方数含有小数，故D不是最简二次根式．故选A．点睛：本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4、A【解析】

根据分式的基本性质逐项判断即得答案．【详解】解：A、由分式的基本性质可知：≠，所以本选项符合题意；B、=，变形正确，所以本选项不符合题意；C、=－，变形正确，所以本选项不符合题意；D、，变形正确，所以本选项不符合题意．故选：A．本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．5、B【解析】试题分析：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的．∴平行四边形AOC1B的面积=S．∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的．∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=．…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积=．故选B．6、A【解析】

根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出∠A=∠ABD=50°,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC,即可得出答案【详解】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠AED＝90°，∴∠A＝∠ABD，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，故选：A．此题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，关键在于利用线段垂直平分求出AD=BD7、B【解析】

根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．【详解】解：一次函数y=x﹣2，∵k=1＞0，∴函数图象经过第一三象限，∵b=﹣2＜0，∴函数图象与y轴负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选B．8、C【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x、y，依题意得：，解得：，则矩形ABCD的面积为7×2×5=1．故选C．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、4【解析】

根据同类二次根式的定义，被开方数相等，由此可得出关于x的方程，进而可求出x的值．【详解】解：由题意可得：解：当时，与都是最简二次根式故答案为：4.本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．10、1【解析】

根据分式值为0的条件直接求解即可.【详解】解：令且∴即时，分式的值为0.故答案为：1.本题考查了分式的值，分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．11、．【解析】

一次函数图象与两坐标轴围成的面积，就要先求出一次函数图象与两坐标轴的交点，再由直角三角形面积公式求三角形面积，结合图象经过第一、三、四象限，判断k的取值范围，进而求出k的值．【详解】解：∵一次函数y=kx﹣2与两坐标轴的交点分别为，，∴与两坐标轴围成的三角形的面积S=，∴k=，∵一次函数y=kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，∴k=，故答案为：．本题考查了一次函数图象的特征、一次函数与坐标轴交点坐标的求法、三角形面积公式．利用三角形面积公式列出方程并求解是解题的关键．12、7【解析】

试题分析：根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，根据勾股定理可得OC=7，又因OM=OC=7，于是可确定点M对应的数为7．考点：勾股定理；实数与数轴．13、2【解析】

根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出AC•BD，再根利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．【详解】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OA2+OB2＝AB2，即（AC+BD）2﹣AC•BD＝AB2，×12﹣AC•BD＝52，AC•BD＝48，故菱形ABCD的面积是48÷2＝2．故答案为：2．本题考查了菱形的面积公式，菱形的对角线互相垂直平分线的性质，勾股定理的应用，比熟记性质是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、猜想的解是，．验证见解析；，．

【解析】

此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．【详解】猜想的解是，．验证：当时，方程左边，方程右边，方程成立；当时，方程左边，方程右边，方程成立；的解是，；由得，，，，．考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.15、y=2x+1【解析】

设一次函数的解析式为y=kx+b，然后将A、B两点代入解析式列式计算即可.【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，因为一次函数的图象经过A(﹣2，﹣3)，B(1，3)两点所以，解得：k=2，b=1．∴函数的解析式为：y=2x+1．本题考查的是待定系数法求解一次函数解析式，能够掌握待定系数法求解解析式的方法是解题的关键.16、（1）200，70，0.12；（2）详见解析；（3）420【解析】

（1）根据50.5～60.5的频数和频率先求出总数，再根据频数、频率和总数之间的关系分别求出m、n的值；（2）根据（1）的结果可补全统计图；（3）用全校的总人数乘以成绩在70分以下（含70分）的学生所占的百分比，即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：=200（名），m=200×0.35=70（名），n==0.12；故答案为：200，70，0.12；（2）根据（1）补图如下：（3）根据题意得：1500×（0.08+0.2）=420（人），答：该校安全意识不强的学生约有420人．此题主要考查了频数分布直方图、频数分布表、利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．17、（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】

（1）如图1中，作DF⊥BC延长线于点F，垂足为F．证明△ABH≌△DCF（HL），即可解决问题．

（2）如图2中，设∠BAH＝α，则∠B＝90°−α；设∠ADE＝β则∠CED＝2∠ADE＋2∠BAH＝2α＋2β．证明∠ECD＝∠EDC即可．

（3）延长CM交DA延长线于点N，连接EN，首先证明△ECD为等边三角形，延长PD到K使DK＝EQ，证明△EQC≌△DKC（SAS），推出∠DCK＝∠ECQ，QC＝KC，推出∠PCK＝∠DCK＋∠PCD＝30°＝∠PCQ，连接PQ．证明△PQC≌△PKC（SAS）推出PQ＝PK，可得PK＝PD＋DK＝PD＋EQ＝5＋2＝7，作PT⊥QD于T，∠PDT＝60°，∠TPD＝30°，作CR⊥ED于R，勾股定理解直角三角形求出RC，RQ即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，作DF⊥BC延长线于点F，垂足为F．∵AH⊥BC，

∴∠AHB＝∠DFC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADF＋∠AFD＝180°，

∴∠ADF＝180°−90°＝90°，

∴四边形AHFD为矩形，

∴AH＝DF，

∵AH＝DF，AB＝CD，

∴△ABH≌△DCF（HL）

∴∠B＝∠DCF，

∴AB∥CD．

（2）如图2中，设∠BAH＝α，则∠B＝90°−α；设∠ADE＝β，则∠CED＝2∠ADE＋2∠BAH＝2α＋2β．∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠ADC＝90°−α，

∴∠EDC＝∠ADC−∠ADE＝90°−α−β，

在△EDC中，∠ECD＝180°−∠CED−∠EDC＝180°−（90°−α−β）−（2α＋2β）＝90°−α−β

∴∠EDC＝∠ECD，

∴EC＝ED．

（3）延长CM交DA延长线于点N，连接EN，∵AD∥BC，

∴∠ANM＝∠BCM，

∵∠AMN＝∠BMC、AM＝MB，

∴△AMN≌△BMC（AAS）

∴AN＝BC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，

∴AD＝AN，

∵AD∥BC，

∴∠DAH＝∠HAD＝90°，

∴EN＝ED，

∵ED＝EC，

∴EC＝DE＝EN，

∴∠ADE＝∠ANE，∠ECM＝∠ENM，

∵∠ADE＋∠ECM＝30°，

∴∠DEC＝∠ADE＋∠DNE＋∠NCE，

＝∠ADE＋∠ANE＋∠ENC＋∠DCN

＝2（∠ADE＋∠ECM）＝2×30°＝60°．

∵EC＝ED，

∴△ECD为等边三角形，

∴EC＝CD，∠DCE＝60°，延长PD到K使DK＝EQ，

∵PD∥EC，

∴∠PDE＝∠DEC＝60°，∠KDC＝∠ECD＝60°，

∴∠KDC＝∠DEC，EC＝CD，DK＝EQ，

∴△EQC≌△DKC（SAS），

∴∠DCK＝∠ECQ，QC＝KC，

∵∠ECQ＋∠PCD＝∠ECD−∠PCQ＝60°−30°＝30°，

∴∠PCK＝∠DCK＋∠PCD＝30°＝∠PCQ，

连接PQ．∵PC＝PC，∠PCK＝∠PCQ，QC＝KC，

∴△PQC≌△PKC（SAS）

∴PQ＝PK，

∵PK＝PD＋DK＝PD＋EQ＝5＋2＝7，

作PT⊥QD于T，∠PDT＝60°，∠TPD＝30°，

∴TD＝PD＝，PT＝=，

在Rt△PQT中，QT＝，∴QD＝，

∴ED＝8＋2＝10，

∴EC＝ED＝10，作CR⊥ED于R，∠DEC＝60°∠ECR＝30°，

∴ER＝EC＝5，RC＝，RQ＝5−2＝3

在Rt△QRC中，CQ＝．本题属于四边形综合题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．18、（1）40，图形见解析；（2）众数是8，中位数是8.5；（3）900名【解析】

（1）本次抽查的学生数=每天锻炼10小时的人数÷每天锻炼10小时的人数占抽查学生的百分比；一周体育锻炼时间为9小时的人数=抽查的人数-（每天锻炼7小时的人数+每天锻炼8小时的人数+每天锻炼10小时的人数）；根据求得的数据补充条形统计图即可；（2）一组数据中出现次数最多的数是众数，结合条形图，8出现了18次，所以确定众数就是18；把一组数据按从小到大的数序排列，处于中间位置的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数。由图可知第20、21个数分别是8、9，所以中位数是它们的平均数；（3）该校学生一周体育锻炼时间不低于9小时的估计人数

=该校学生总数×一周体育锻炼时间不低于9小时的频率.【详解】（1）解：本次抽查的学生共有8÷20%=40(名)一周体育锻炼时间为9小时的人数是40-(2+18+8)=12(名)条形图补充如下：（2）解：由条形图可知，8出现了18次，此时最多，所以众数是8将40个数据按从小到大的顺序排列，第20、21个数分别是8、9，所以中位数是(8+9)÷2=8.5（3）解：1800×=900(名)答：估计该校学生一周体育锻炼时间不低于9小时的大约有900名.此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意得到本次抽查的学生的总人数.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、y=40-5x【解析】

直接利用汽车耗油量结合油箱的容积，进而得出油箱内剩余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式．【详解】由题意可得：y=40-5x．故答案为y=40-5x．此题主要考查了函数关系式，根据汽车耗油量得出函数关系式是解题关键．20、【解析】

根据科学记数法的一般形式进行解答即可.【详解】解：0.0000077=.故答案为：.本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．21、或【解析】

分两种情况画图分析：点E在正方形内部和点E在正方形外部．设，再利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和分别求解即可．【详解】解：如图1，设如图2，设，故答案为：135°或45°.本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论的数学思想，对点在正方形内部或外部进行讨论．解题关键是画出相应的图．22、（n﹣2）（n﹣m）．【解析】

用提取公因式法分解因式即可．【详解】n（n﹣2）+m（2﹣n）=n（n﹣2）-m（n-2）=（n﹣2）（n﹣m）．故答案为（n﹣2）（n﹣m）．本题考查了用提公因式法进行因式分解；一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23、1或2【解析】

当DF在CD右侧时，取BC中点H，连接FH交CD于M，连接DH，CD。可证△FDH≌△EDB，再证△CHM≌△DHM，推出MH⊥CD，由勾股定理可得FM,由中位线可得MH，进而可计算FH，由全等可得FH=BE。同理可求DF在CD左侧时，FH的值，进而求BE的值。【详解】如图当DF在CD右侧时，取BC中点H，连接FH交CD于M，连接DH，CD。易证△BDH是等边三角形，DH=BD,∠FDH=∠EDB,DF=DE∴△FDH≌△EDB∴FH=BE，∠FHD=∠B=60°在等边△BDH中∠DHB=60°∴∠CHF=60°∴MH=MH,∠CHM=∠MHD=60°，DH=CH,∴△CHM≌△DHM∴CM=DM,∵CM=DM,CH=BH∴MH//BD,∵CD⊥AB∴MH⊥CD∴∠CMF=90°∴∴∴BE==1同理可证，当DF在CD左侧时BE==2综上所诉，BE=1或2灵活构造三角形全等，及中位线，勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键。二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）当x＞时，使用分时电表比普通电表合算；当x=时，两种电表费用相同；当x＜时，使用普通电表比普通电表合算；（3）用分时电表更合算.【解析】

（1）根据题意解答即可；

（2）根据题意列不等式解答即可；

（3）根据（1）的结论解答即可．【详解】解：（1）根据题意得：y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）小明家庭使用分时电表不一定比普通电表合算．

当y1＜y2，即0.35x+0.55