初中数学“最值问题”中的对称问题VIP

初中数学，“最值问题”中的对称问题一个可以真正学习的平台！教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。一、点关于一条直线的对称问题问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示）知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是：过M作MO垂直于PQ于点O，并延长MO到点N，使NO=MO，则点N就是点M关于直线PQ的对称点。问题分析：过A作AO垂直于直线L于点O，延长AO到点A’，使A’O=AO，连接A’B，交直线L于点C，则小明沿着ACB的路径就可以满足小狗喝上水，同时又使回家的路程最短。问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）提示：作PC平行于AB，且PC==AB，则问题变为：在直线L上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。问题的延伸2：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？提示：分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点P1和P2，连接P1P2分别与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。二、桥该建在哪里：问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？问题数学化：在直线L1和直线L2之间作一条垂线段CD，使得BC+CD+DA最短。知识介绍：关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我们想办法把线段AD平移到和线段BC共线的位置，于是变化为下面两图。问题的总结与结论：一般来说，我们利用图形的对称性寻找到最近的位置，然后利用三角形和对称的性质去证明你所选取的位置是题目中所要求的位置即可。问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线段B’A’，交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？三、对称问题的进一步延伸。我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？1、直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C，使得：A、B到C的距离的差的绝对值最小。2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质？等腰三角形、矩形、正多边形等。四、如何平分土地：问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右图所示），应该怎样平分呢？问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。问题分析：1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所在直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的对称中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？问题的分析：（如下图所示）直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，取线段BC的中点为P，则直线PS就是满足两个农民要求的分界线。问题的证明：与中，三组内角对应相等，且RS=PS，则两个三角形全等，所以两个三角形的面积相等，于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、台球桌上的数学问题问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称问题。台球从球桌的一个角出发，若沿着角将球打到对边，然后，球经过几次碰撞，最后到另外的三个角落之一。如果台球桌的长和宽之比为2:1，需要碰撞几次？如果台球桌的长和宽之比为3:2、4:3、5:2、5:3……情况又会怎样？知识介绍：此题类似于物理中光线的反射，当光线入射到平面镜上的时候，光线会被镜子反射。把反射光线和入射光线看成两条直线的话，那么入射角等于反射角。这在数学上就是轴对称。在台球桌（长方形），由于入射角是，所以反射角也是，这样入射线和反射线形成一个直角，相应的，在台球桌上就构成了一个等腰直角三角形，利用这一性质我们可以得到一些有趣的结论。问题分析：我们分下面几种情况进行分析：（1）如果长宽比为2:1，如图，则1次就够了；（2）如果长宽比为3:2，如图，则要碰撞