专题05 线段、角、对角线的计数模型（原卷版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023春·山东淄博·七年级校考期中）下面图形中共有线段()条．A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）往返于太原、运城两地的高铁列车，若中途停靠太谷、介休和临汾站则有（）种不同票价．A．7 B．8 C．9 D．10例3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（

）张车票.A．10 B．15 C．20 D．30例4．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读理解题问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段．知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点．学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手______次．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，总共有个角．例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．例3．（2023秋·重庆七年级课时练习）（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（）A．3 B．5 C．7 D．9例3．（2023春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个，n条直线两两相交的直线最多有个交点．例4．（2023春·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点：（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分．例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形例4．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（）A．88 B．44 C．45 D．50例5．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将n边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线．例6．（2023春·重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678…n从一个顶点出发的对角线的条数12345…________多边形对角线的总条数2591420…________(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．课后专项训练1．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个3．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（）种车票．A．10 B．11 C．20 D．224．（2023·河北邯郸·七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（

）A．9种 B．20种 C．10种 D．72种5．（2023·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或36．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（

）A．个交点B．个交点C．个交点D．个交点7．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(

)A．9 B．8 C．6 D．58．（2023春·浙江·八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023秋·广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．1810．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．711．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.12．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过五边形的一个顶点有条对角线．13．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则．14．（2023秋·重庆·七年级期中）如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．15．（2023秋·山东德州·八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共条对角线．16．（2023秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是，十二边形的对角线的条数是17．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票．18．（2023·北京·七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：图形…直线条数234…最多交点个数13=1+26=1+2+3…按此规律，6条直线相交，最多有个交点；n条直线相交，最多有个交点．（n为正整数）19．（2023·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了个部分．20．（2023秋·四川自贡·七年级校考阶段练习）已知：四点A、B、C、D的位置如图所示，根据下列语句，画出图形．(1)画直线、射线相交于点O，画线段；(2)图中以字母A、B、C、D、O为端点的线段共有____条．21．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，为直线上一点，，平分．(1)请你数一数，图中有___________个小于平角的角；(2)求的度数．22．（2023秋·山西七年级月考）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有条.（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有条.（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？23．（2023秋·江苏·七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．(1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？24．（2023·北京市七年级课时练习）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：

(1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；(2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？(3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？25．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；(1)当线段上有6个点时，线段共有条？(2)当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示）(3)当，线段共有多少条？

26．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？27．（2023春·广东肇庆·七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b，图中共有＿＿＿对对顶角；（3）如图c，图中共有＿＿＿对对顶角.（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有

n条直线相交于一点,则可形成＿＿＿对对顶角？（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成＿＿＿对对顶角？28．（2023秋·山东七年级课时练习）下面各个图形中，分别有多少个小于平角的角，请用适当的方法表示这些角．（1）图（1）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________；（2）图（2）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________；（3）图（3）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________．29．（2023·云南保山·七年级统考期末）如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果n=8时，检验你所得的结论是否正确．30．（2023秋黑龙江七年级月考）找规律：一次足球比赛中，有n（n≥2）个球队参加比赛，假设此次比赛为单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），球队总数与总的比赛场数如表．球队数（n）23456比赛场数1361015（1）8个球队总共比赛的总场数为．（2）当有n个球队参加时，共比多少场？（2）当n＝10时，共有多少场比赛？31．（2023秋·河北八年级课时练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…

（1）完成下表：连接个数出现三角形个数若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？若一直连接到An，则图中共有__________个三角形．32．（2023春·山东青岛·七年级校考期中）数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是______．如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面