数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分4场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V中每一点M，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场.若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0,则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场.设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),则A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),其中P,Q,R为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L上每点M处的切线方向都与向量函数A在该点的方向一致，即==,则称曲线L为向量场A的向量场线.如,电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数gradu=,且gradu的方向是使达到最大值的方向,其大小为u在这个方向上的方向导数.所以可定义数量场u在点M处的梯度gradu为在M处最大的方向导数的方向，及大小为在M处最大方向导数值的向量.因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关.由梯度给出的向量场，称为梯度场.又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c的法线方向为,所以gradu的方向与等值面正交,即等值面法线方向.引进符号向量：▽=.将之视为运算符号时,gradu=▽u.基本性质：若u,v是数量函数,则1、▽(u+v)=▽u+▽v；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v.特别地▽u2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z),φ=φ(x,y,z),则dφ=dr▽φ；4、若f=f(u),u=u(x,y,z),则▽f=f’(u)▽u；5、若f=f(u1,u2,…,un),ui=ui(x,y,z)(i=1,2,…,n),则▽f=.证：1、▽(u+v)===+=▽u+▽v.2、▽(uv)===+=u+v=u(▽v)+(▽u)v.当u=v时，有▽u2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v=2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz,▽φ=,∴dr▽φ=(dx+dy+dz)==dφ.4、∵▽f==,又▽u=,f’(u)=,∴f’(u)▽u===▽f.5、▽f=====.例1：设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于M(x,y,z),记OM=r=,求的梯度.解：=.注：若以r0表示上的单位向量，则有=,表示两质点间引力方向朝着原点,大小是与质量的乘积成正比,与两点间的距离的平方成反比.这说明引力场是数量函数的梯度场.所以称为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V上的向量函数,对V上每一点(x,y,z),定义数量函数D(x,y,z)=,则称D为向量函数A在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=divA(x,y,z).设n0=(cosα,cosβ,cosγ)为曲面的单位法向量,则=n0dS就称为曲面的面积元素向量.于是得高斯公式的向量形式：=.在V中任取一点M0,对应用中值定理,得=divA(M*)·△V=,其中M*为V中某一点，于是有divA(M*)=.令V收缩到点M0(记为V→M0)则M*→M0,因此divA(M0)=.因和△V都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A的散度divA构成的数量场，称为散度场.其物理意义：divA(M0)是流量对体积V的变化率，并称它为A在点M0的流量密度.若divA(M0)>0,说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若divA(M0)<0,说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇.若向量场A中每一点皆有divA=0,则称A为无源场.向量场A的散度的向量形式为：divA=▽·A.基本性质：1、若u,v是向量函数,则▽·(u+v)=▽·u+▽·v；2、若φ是数量函数,F是向量函数,则▽·(φF)=φ▽·F+F·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数,则▽·▽φ=.证：1、记u(P1(x,y,z),Q1(x,y,z),R1(x,y,z)),v(P2(x,y,z),Q2(x,y,z),R2(x,y,z)),则▽·(u+v)===▽·u+▽·v.2、▽·(φF)===φ+(P,Q,R)=φ▽·F+F·▽φ.3、∵▽φ=,∴▽·▽φ==.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=，称为拉普拉斯算符,于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=所产生的散度场.解：∵r2=x2+y2+z2,∴F=(x,y,z),▽·F=-m=0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V上的向量函数,对V上每一点(x,y,z),定义向量函数F(x,y,z)=,称之为向量函数A在(x,y,z)处的旋度,记作rotA.设(cosα,cosβ,cosγ)是曲线L的正向上的单位切线向量t0的方向余弦,向量=(cosα,cosβ,cosγ)ds=t0dl称为弧长元素向量.于是有斯托克斯公式的向量形式：=.向量函数A的旋度rotA所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称为沿闭曲线L的环流量.表示流速为A的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L的流体总量，反映了流体沿L时的旋转强弱程度.当rotA=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关.在场V中任意取一点M0,通过M0作平面π垂直于曲面S的法向量n0,且在π上围绕M0作任一封闭曲线L,记L所围区域为D，则有==.又由中值定理有=(rotA·n0)M*μ(D)=,其中μ(D)为区域D的面积,M*为D中的某一点.∴(rotA·n0)M*=.当D收缩到点M0(记作D→M0)时,有M*→M0,即有(rotA·n0)=.左边为rotA在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式.右边的极限与坐标系的选取无关，所以rotA与坐标系选取无关.物理意义：=(rotA·n0)M*μ(D)=,表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分.即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向.若取定旋转轴上一点O作为原点，则刚体上任一点P的线速度v可表示为v=ω×r,其中r=是P的径向量.设P的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx,ωy,ωz),∴v=(ωyz-ωzy,ωzx-ωxz,ωxy-ωyx),∴rotv=(2ωx,2ωy,2ωz)=2ω或ω=rotv.即线速度向量v的旋度除去,就是旋转的角速度向量ω.也即v的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rotA=▽×A.1、若u,v是向量函数,则(1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v；(2)▽(u·v)=u×(▽×v)+v×(▽×u)+(u·▽)v+(v·▽)u；(3)▽·(u×v)=v·(▽×u)-u·(▽×v)；(4)▽×(u×v)=(v·▽)u-(u·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数,A是向量函数,则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数,A是向量函数,则(1)▽·(▽×A)=0,▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P1(x,y,z),Q1(x,y,z),R1(x,y,z)),v(P2(x,y,z),Q2(x,y,z),R2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)==+=▽×u+▽×v.(2)∵▽(u·v)=▽(P1P2+Q1Q2+R1R2)==.又u×(▽×v)=u×=.v×(▽×u)=.(u·▽)v=v=(v·▽)u=;∴▽(u·v)=u×(▽×v)+v×(▽×u)+(u·▽)v+(v·▽)u.(3)∵▽·(u×v)=▽·(Q1R2-R1Q2,R1P2-P1R2,P1Q2-Q1P2)==.又v·(▽×u)=v·=;u·(▽×v)=;∴▽·(u×v)=v·(▽×u)-u·(▽×v).(4)∵▽×(u×v)=▽×(Q1R2-R1Q2,R1P2-P1R2,P1Q2-Q1P2)==;又(v·▽)u=;(u·▽)v=;(▽·v)u=u=;(▽·u)v=;∴▽×(u×v)=(v·▽)u-(u·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、记φ=φ(x,y,z),A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),则▽×(φA)===φ+=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z),A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),则(1)▽·(▽×A)=▽·====0.▽×▽φ=▽×==0.(2)▽×(▽×A)=▽×==;又▽(▽·A)=▽=,=;▽2A=△A=;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A，即divA=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场.因为在向量场A中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面，用断面S1,S2截它，以S3表示所截出的管的表面，即得到由S1,S2,S3围成的封闭曲面S，于是有=++=0.又由向量线与曲面S3的法线正交知,=0.∴+=0,即+.等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A为管量场.如例2，由梯度所成的引力场F是管量场.概念：对无旋场A，即rotA=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场.因为当rotA=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关,且有u(x,y,z),使得du=Pdx+Qdy+Rdz,即gradu=(P,Q,R),u称为势函数.所以，若向量场A的旋度为0，则必存在某势函数u，使得gradu=A.这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件.例1中引力势u=就是势函数.∴▽u=F=-.又▽×▽u≡0,∴▽×F=0,它也是引力场F是有势场的充要条件.若向量场A既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F就是调和场.若A是一个调和场，则必有▽·A=0,▽u=A.显然▽·▽u=▽2u=△u=0,即必有势函数u满足=0,这时称函数u为调和函数.习题1、若r=,计算▽r,▽r2,▽,▽f(r),▽rn(n≥3).解：∵=,=,=,∴▽r==(x,y,z);记u=r2=x2+y2+z2,∵=2x,=2y,=2z,∴▽r2=▽u=2(x,y,z);记v=,∵=-,=-,=-,∴▽=▽v=(x,y,z);∵=f’(r),=f’(r),=f’(r),∴▽f(r)=f’(r)(x,y,z);∴▽rn=nrn-1=nrn-2(x,y,z),(n≥3).2、求u=x2+2y2+3z2+2xy-4x+2y-4z在O(0,0,0),A(1,1,1),B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点.解：∵=2x+2y-4,=4y+2x+2,=6z-4,∴在O(0,0,0),gradu=(-4,2,-4);在A(1,1,1),gradu=(0,8,2);在B(-1,-1,-1),gradu=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0,4y+2x+2=0,6z-4=0,解得x=5,y=-3,z=,∴在(5,-3,),|gradu|=0.3、证明梯度的基本性质1~5.证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A的散度与旋度：(1)A=(y2+z2,z2+x2,x2+y2)；(2)A=(x2yz,xy2z,xyz2)；(3)A=.解：(1)∵P=y2+z2,Q=z2+x2,R=x2+y2；∴divA=(y2+z2)+(z2+x2)+(x2+y2)=0；又(x2+y2)-(z2+x2)=2y-2z;(y2+z2)-(x2+y2)=2z-2x;(z2+x2)-(y2+z2)=2x-2y.∴rotA=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x2yz,Q=xy2z,R=xyz2；∴divA=(x2yz)+(xy2z)+(xyz2)=6xyz；又(xyz2)-(xy2z)=x(z2-y2);(x2yz)-(xyz2)=y(x2-z2);(xy2z)-(x2yz)=z(y2-x2).∴rotA=(x(z2-y2),y(x2-z2),z(y2-x2)).(3)A=.∵P=,Q=,R=；∴divA=++=；又-=;-=;-=.∴rotA=.5、证明散度的基本性质1~3.证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3.证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z),Q=zx(x+2y+z),R=xy(x+y+2z),[xy(x+y+2z)]-[zx(x+2y+z)]=x2+2xy+2xz-x2-2xy-2xz=0;[yz(2x+y+z)]-[xy(x+y+2z)]=2xy+y2+2yz-2xy-y2-2yz=0;[zx(x+2y+z)]-[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z2-2xz-2y