数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值

第十八章隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V,而表面积最小的长方形开口水箱.设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy.即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足xyz=V,这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk(x1,…,xn)=0,k=1,2,…,m(m<n)的限制下，求目标函数y=(x1,…,xn)的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=,代入函数S得：F(x,y)=S(x,y,)=2V(+)+xy.由(Fx,Fy)=(0,0)求得稳定点(,),可求得最小面积S=3.2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C:φ(x,y)=0.把C看作(x,y)的曲线方程，设C上一点P0(x0,y0)为f满足条件的极值点,且在点P0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x),则x=x0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点.由f在P0可微,g在x0可微,可得h’(x0)=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)g’(x0)=0,且当φ满足隐函数定理条件时，有g’(x0)=-,代入上式得：fx(P0)φy(P0)-fy(P0)φx(P0)=0.几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P0)与曲线C在P0有公共切线.从而存在某常数λ0,使得在P0处满足：，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),可得,即将条件极值问题转化为L的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法，其中函数L称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn为拉格朗日乘数)L(x1,…,xn,λ1,…,λm)=f(x1,…,xn)+.定理18.6：设在条件φk(x1,…,xn)=0,k=1,2,…,m(m<n)的限制下，求函数y=(x1,…,xn)的极值问题,其中f与φk在区域D上有连续的一阶偏导数.若D的内点P0(,…,)是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为m,则存在m个常数,…,,使得(,…,,,…,)为拉格朗日函数L(x1,…,xn,λ1,…,λn)=f(x1,…,xn)+的稳定点,即(,…,,,…,)为n+m个方程的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题.解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：，解得：x=y=2z=,λ=.∴水箱表面积最小值为：=3.注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy≥3=,x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x2+y2+z2在条件x2+y2-z=0及x+y+z-1=0下的最值.令L(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1),列方程组有：,解得：λ=-3±,μ=-7±,x=y=,z=2∓.又f(,,z=2∓)=9∓5.∴椭圆到原点的最长距离为,最短距离.例3：求f(x,y,z)=xyz在条件++=,(x>0,y>0,z>0,r>0)下的极小值，并证明不等式3(++)-1≤,其中a,b,c为任意正实数.解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(++-),列方程组有：，解得：x=y=z=3r,λ=(3r)4.把++=看作隐函数z=z(x,y)(满足隐函数定理条件)，记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z),它是f与z=z(x,y)的复合函数.则有zx=-/=-,zy=-;Fx=yz+xyzx=yz-,Fy=xz-;Fxx=yzx+yzx+xyzxx=,Fyy=,Fxy=z+yzy+xzx+xyzxy=z--+;∵(FxxFyy-Fxy2)(3r,3r,3r)=27r2>0,∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值,也是最小值.即有xyz≥(3r)3,(x>0,y>0,z>0,且++=).令x=a,y=b,x=c,则r=(++)-1,即有abc≥[3(++)-1]3,或3(++)-1≤(a>0,b>0,c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：(1)f(x,y)=x2+y2,若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0)；(3)f(x,y,z)=xyz,若x2+y2+z2=1,x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1),列方程组：,解得：λ=-1,x=y=.又当x→∞,y→∞时，f→∞，∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(,)=.(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c4),有,解得：x=y=z=t=c.又当n个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x2+y2+z2-1)+μ(x+y+z),有,解得：,,,,,.∵f在有界集{(x,y,y)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(,,-)=f(-,-,)=f(,-,)=-,f(-,-,)=f(,-,-)=f(-,,-)=,∴f在(,,-),(-,-,),(,-,)取得极小值-,在(-,-,),(,-,-),(-,,-)取得极大值.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体；(2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z，则体积V=xyz,表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S),有,解得：x=y=z=,∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即表面积一定的长方体为正方体时，V==最大.(2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V),有,解得：x=y=z=,∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即体积一定的长方体为正方体时，表面积S=6最小.3、求空间一点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2在条件Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2+λ(Ax+By+Cz+D),列方程组有,解得：，∴f的最小值必在惟一的稳定点取得，即d==为所求最短距离.4、证明：在n个正数的和为定值条件x1+x2+…+xn=a下，这n个正数的乘积x1x2…xn的最大值为.并由此结果推出n个正数的几何平均值不大于算术平均值≤.证：记L(x1,x2,…,xn,λ)=x1x2…xn+λ(x1+x2+…+xn-a),(x1,x2,…,xn>0)列方程组有：,解得：x1=x2=…=xn=.∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(,,…,)=最大.又x1x2…xn≤，∴≤=.5、设a1,a2,…,an为已知的n个正数，求f(x1,x2,…,xn)=在限制条件x12+x22+…+xn2≤1下的最大值.解：记x12+x22+…+xn2=r≤1,L(x1,x2,…,xn,λ)=+λ(x12+x22+…+xn2-r),列方程组有：,解得：xi=,(i=1,2,…,n)可知，当xi=,且r=1时，取得最大值fM=.6、求函数f(x1,x2,…,xn)=x12+x22+…+xn2在条件=1(ak>0,k=1,2,…,n)下的最小值.解：记L(x1,x2,…,xn,λ)=x12+x22+…+xn2