2021年新高考数学复习考点扫描16 解三角形（解析版）

考点16解三角形

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(1)考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.

2

【2020年局考全国HI卷文数11】在AABC中，cosC=—,AC=4,BC=3,则tan3=()

3

A.亚B.26C.475D.875

【答案】C

【思路导引】先根据余弦定理求c,再根据余弦定理求cos5,最后根据同角三角函数关系求tanA

2

222

【解析】设AB=c,8C=a,C4=b,c=a+/?-2abcosC=9+16-2x3x4x-=9/.c=3,

3

cosB-a+C——sinB-Jl-(—)2-tanB-4>/5,故选：C.

2ac9V99

【2020年高考全国I卷文数181A43C的内角的对边分别为a,Z?,c.已知B=150°.

(1)若(1=&加=2不，求AABC的面积；(2)若sin4+百sinC=也，求C.

2

【答案】(1)&；(2)15°.

【思路导引】(1)已知角5和b边，结合。关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出利用面积公

式，即可得出结论；(2)将A=30°—C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关。角

的三角函数值，结合C的范围，即可求解.

【解析】(1)山余弦定理可得。2=28=a2+c2—2ac-cosl5()°=7c2,

:.c=2,a=2A/3,.\AABC的面积S=gacsin6=百.

(2)A+C=30°..,.sinA+>/3sinC=sin(30o-C)+\/3sinC=—cosC+—sinC=sin(C+30°)=—，

222

­.0°<C<30°,30°<C+30°<60°.:.C+30°=45°,.-.C=15o.

【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查数学运算学科素养.解题关键是熟记有

关公式.

(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.

[2020年高考全国II卷文数17]△A8C的内角A,B,C的对边分别为。，》，C,已知④/停+A）+COSA=：.

（1）求A；

⑵若h-c=9L,证明：是直角三角形.

3

TC

【答案】（1）A=一：（2）证明见解析.

3

【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，cos2（1+A）+cosA=；可化为

5R

1-cos23A+cosA=-,即可解出；（2）根据余弦定理可得Z?2+c2—4=bc，将b—c=代入可找到

43

关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出.

222

【解析】（1）cos1-4-/i|+cosA=-f：.sinA+cosA=—,BP1-cosA4-cosA=—,

UJ444

17T

解得cosA=—,又0<A<%,，A=—.

23

（2）'：A=-,.•.cosA=>+[一/=L即匕一标=历①，又b-c=&②,将②代入①得,

326c23

Z?2+c2-3（/?-c）2=be,即如2+2<?—5bc=0，而。〉c,解得b=2c,：.a=gc，故。2=a?+c2,

即△ABC是直角三角形.

【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查诱导公式及平方关系，考查三角形形状

的判断，考查数学运算、逻辑推理等学科素养.解题关键是熟记有关公式，进行合理转化.

（3）考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.

2

【2020年高考全国HI卷理数7】在△ABC中，cosC=—,AC=4,8C=3,则cos3=（）

3

11cl2

A.-B.-C.—D.一

9323

【答案】A

【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得AB,再根据《«5=空盘1mC,即可求得答案.

2ABBC

2

【解析】・・.在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

2

根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC，AB2=42+32-2x4x3x-,

r,日c"n°AB2+BC2-AC29+9-161_1

可GrAB~=9>即AB=3,cosBn=----------------=---------—,故cos8D=一,故!Z达AA.

2ABBC2x3x399

【专家解读】本题考查了余弦定理，考查数学运算学科素养.解题关键是熟记有关公式.

【2020年高考全国n卷理数171AABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

24

【答案】⑴y；⑵3+25/3.

【思路导引】(1)利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+A8)2—AC-43=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，进而

得到结果.

222AC+ABBC

【解析】（1）由正弦定理可得：BC-AC-AB^ACAB，：.cosA=''-'=_1

2ACAB2

〃），A--.

（2）由余弦定理得：BC2^AC2+AB2-2ACABCOSA^AC2+AB2+ACAB=9,

"AC+AB^

即（AC+AB）2-ACA8=9.•••ACABV(当且仅当AC=A5时取等号),

、2J

.•.9=（AC+AB）2—AOA8»（AC+A8）2-（^^^）=:（AC+A6『，解得AC+A642G（当且仅

当AC=AB时取等号)，.•.△ABC周长L=AC+AB+BC<3+2百，.1△ABC周长的最大值为3+26.

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑

推理、数学建模等学科素养.解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得

最值.

2.命题方向预测：

(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.

(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.

3.课本结论总结：

abc

(1)正弦定理：sinA=sin8=sinC

（2）余弦定理：a1=b2-\-c1—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,c1=a1+b2-2abcosC.

kr+c1—a1cP+c1—b2n2+/>2—c2

余弦定理可以变形为：cosA=2bc•cosB—2ac>cosC—病.

Ill

(3)SAXSC—2a^s>nC=2bcsinA=24csinB

(4)已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a,b,A,则

A为钝角或直

A为锐角

角

*/^\a

图形品&

ABAB]—8?MB

关系

〃VZ?sinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b

式

解的

无解一解两解一解一解无解

个数

（5）常见题型：

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对

角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分.

余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其他两角；（2）己知三边，求各角.

4.名师二级结论：

（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在AABC

中，A>sinB.

abc

（2）正弦定理的变形：^A=^B=^C=2Rf其中R是三角形外接圆的半径.

①。：b:c=sinA：sin8：sinC；

②。=2Hsin_A,h=2Rs\n_Bfc=2Rsin_C；

abc

③sinA=永，sinB=诟，sinC=灰等形式，以解决不同的三角形问题.

j_j_j_abcJ

（4）三角形的面积公式：5AABC=2^sinC=，8csinA=%csin8=诟=，3+6+。）虫/?是三角形外接圆半径,

，•是三角形内切圆的半径），并可由此计算R厂

（5）解三角形的常用途径：

①化边为角；②化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.

5.课本经典习题：

（1）新课标A版第10页，第B2题（例题）在A4BC中，如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形

的形状具有什么特点.

【解析】法■：利用正弦定理及acosA=Z?cos6,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B：

■-0<A,B<7r,-.2A=2B或2A+2B=7,即A=B或A+B=万,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

法二：利用余弦定理及acosA=〃cos6,得〃—土二〃."上一L,化简得

2hc2ac

(a+bXa-h)(a2+h2-c2)=O,则a=b或/+〃=/,即三角形是等腰三角形或直角三角形.

【经典理山】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。

新课标A版第25页，第B3题(例题)研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：

(1)三边是连续的三个自然数；(2)最大角是最小角的2倍.

qin2/A77+1

【解析】设三角形的三边长依次为〃一+对应角依次为A氏2A油正弦定理，得^------=——,

sinAn-1

贝(]2cosA=C±L又由余弦定理得(“+D+”——~~9-=巴也，化简得(〃+4)(〃-1)=(〃+1)2,

n-\〃(〃+1)n-1

解得〃=5,即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.

【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.

6.考点交汇展示：

(1)与平面几何相结合

1、【2020年高考江苏卷16】在AABC中，角A，B，C的对边分别为4，b,c,已知。=3,c=J5,

3=45°.

【答案】见解析

【解析】(1)由余弦定理，得cos5=cos45°=土上二a==也，

2ac6V22

b6_也R

因此加=5,即b=6，由正弦定理一J=——,得碇=79,因此sinC=9.

smCsinB」一5

2

(2)VcosZA£)C=一，/.sinZADC=71-cos2ZADC=-,VZAZ)Ce(-,^),ACe(0,-),

5522

cosC=Jl—sin2c=­,：.sinADAC=sin(%-ADAC)=sin(ZAZ)C+ZC)

=sinZAZ)CcosC+cosZ/lDCsinC=—.VZZ)ACe(0,^),cosNZMC=Jl-sin?NZMC=,

25225

【专家解读】本题考查了正弦定理，考查两角和与差的三角函数公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建

模等学科素养.解题关键熟记有关公式，进行合理转化.

(2)与三角函数的图像与性质的交汇

1、已知a,b,c为ZMBC的内角4,B,C的对边，满足叫上里叫“cosC,函数/(乃=$也3%

sinAcos4

nTI

®>0)在区间［0,予］上单调递增，在区间写,记上单调递减.

TC

(1)证明：b+c=2a；(2)若/•(§)=cos4证明△4BC为等边三角形.

sin/?+sinC2-cosB-cosC

【解析】(1),•*------；---------=-------------------------,sinBcosA+sinCcosA=2sin4-cosfisin74-cosCsinA

，sinBcos/+cosBsin71+sinCcos/l+cosCsin/1=2sin4

sinG4+B)+sin(/I+C)=2sinAsinC+sinB=2sinA所以8+c=2a

27r4TT37T7T171

(2)由题意知：—=—,解得：0)=-因为/'Q)=sin：=二=cos44W(0,兀),所以4=77,

o)32f9623

k212_21

由余弦定理知cosA=±"r—-n=-，所以属+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以

b4-c

bo24-c2o-(—―)29=be，

jt

即属+。2-2%=0所以匕=&又4=§,所以△ABC为等边三角形.

(3)与平面向量的交汇

1、AABC的内角A,B,C所对的边分别为已知向量而=(cosAb),1=(sinA,a),若瓦反共线，

且8为钝角.

(1)证明：B-A=g⑵若b=2瓜a=2,求A43C的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)V3.

【解析】(1)证明：:根,〃共线，acosA-/?sinA=0,又由正弦定理得sinAcosA-sin5sinA=0,

\71।Ji冗

BPcosA=sinB.又：8为钝角，，cosA=sin|[+A|=sin8,3=—+A,即B-A=一：

V2；22

（2）：a=2,/?=26，，2cosA-2百sinA=0，二tanA=走，；♦A=[，

36

又3=4+工=也，，C=工，.•.SAABc=La0sinC='x2x2V5x'=6.

236MBC222

2、【2017山东,文17】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,而./=—6，SAW3,求A和a.

【答案】A=二兀,a=j29.

4

【解析】因为与•衣=一6，所以人ccosA=-6,又S^BC=3,所以Z?csinA=6,因此tanA=-l,

3兀

乂0<A<»,所以A=q-,乂/?=3,所以c=2j^，由余弦定理a?=〃2+c、2—2Z>ccosA，

得/=9+8—2・3・2四•（一J）=29，所以。=回.

2

（4）与实际问题的交汇

1、如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中A6=Ji4C.

（1）若BC=2,求A48c的面积的最大值；

（2）若AA8C的面积为1,问N84C=6为何值时8C取得最小值.

【答案】（1）&；（2）。=工时，/（。）有最小值，即BC最小.

6

【解析】（D以8C所在直线为x轴，8c的中垂线为y轴建立直角坐标系，则3（—l,0）,C（l,0）,设

A（x,y），由A8=Ji4C得，（x+l『+y2=3[（x_l）2+y2],化简得（》_2）2+丁2=3.所以A点的轨

迹为以（2,0）为圆心，为半径的圆.（除去与％轴的交点），所以S1rax=gBC-d=g2•道=Ji.

（2）设AB=c,BC=a,AC=/?,由AB=>/得、c=.

*:S=—bcsxnA-—•V3Z?2sinA,/./sin0-?心b1-

2233sin6

*/a2=b2+c2-2bccosA=4/72-2百。2cosA=——牝。"

3sin6sin。

令/（。）=国亘-也士匹（0,0，/，⑻=也氏"+，=双1经”乜

3sin6sin。3sin~6sin?。3sin2^

令/⑻=0得cose二日力=看,列表：略・・・・/⑻在收）

上单调递减,

在序》J上单调递增，当6=工71时,/（e）有最小值，即最小.

6

【考点分类】

热点一利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长

1.在△ABC中，角A,3,C的对边分别为。,b,c,若a=1,6sinAcosC+(6sinC+b)cosA=0,

则角A=（）

2兀兀

A.—B.一

33

_兀5兀

C.一D.——

66

【答案】D

【解析】:。=1,6sinAcosC+G/JsinC+b)cosA=0,.•・V3sinAcosC+>/3sinCeosA=-hcosA，

A/3sin(A+C)=5/3sinB=-hcosA,/.>/3tzsinB=-bcosA，由正弦定理可得:

5/3sinAsinB=-sinBcosA，sinB>0,GsinA二一cosA，即tanA=-------，G(0,7i),

3

.5兀

A=—.

6

【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属尸基础题.解答本题时,

山GsinAcosC+(6sinC+b)cosA=(),可得、&sin3=-〃cosA，再由正弦定理得到

tanA=-—,结合A£（0,兀），即可求得A的值.

3

2.【2020年高考天津卷16】在AA5c中，角A,B,C所对的边分别为a,》,c.已知a=2&力=5,c=g.

（I）求角C的大小；（II）求sinA的值；（III）求sin2A+?的值.

【答案】(1)C=工；(IDsinA=^^；(III)sin(24+三］

413I4J26

【思路导引】（I）直接利用余弦定理运算即可；（H）由（I）及正弦定理即可得到答案;

（III）先计算出5布4854进一步求出豆1124,（：0524再利用两角和的正弦公式计算即可.

【解析】（1）在AABC中，由a=2&/=5,c=及余弦定理得

…上48+25-1341

2ab2x26x5-2

77

又因为Ce（0,不），所以C=

4

（II）在AABC中，由C=（，a=20,c=屈及正弦定理，可得

2近x也2屈

asinC

sinA=

-7B_-13

（III）由a<c知角A为锐角，由sinA=*3,可得cosA=J1-sin2A=，

125

进而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—,

1313

r...7V.71c-）1205170

所B以rsin（2Ad--）-sin2/1cos—+cos2Asin—=—x-----1----x——=--------

44413213226

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数

学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养.解题关键熟记有关公式，进行合理转化.

3.【2019年高考江苏卷】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c.

,,l2,、上，……sinACOSJB„.„兀、…

（1）右a=3c,b=yf2,cosB=—,求c的值；（2）右-----=------,求sin（ZjB+一）的值.

3a2h2

【答案】（1）c=—:（2）处.

35

【解析】（1）因为a=3c,b=JIcos8=一，由余弦定理cos3=%上——,

32ac

<?2

得2=（3）2+—（血）2,BpC=~,所以c=1.

32x3cxc33

、…，sinAcosB,丁什-e。bcosBsin5六八.一

（2）因为-----=------,由正弦定理二=-....,得------=-----，所以cos3=2sin3.

a2bsinAsinB2bb

从而cos?B=（2sinB）2,即cos?B=4（l—cos?8）,故cos?8.因为sinB>0,

所以cosB=2sinB>0,从而cosB=35.因此sin（8+¥]=cosB=2.

5I2）5

【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算

求解能力.

【方法规律】

（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.

（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点,

应引起注意.

（3）已知三功，解三角形，利用余弦定理；

（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；

【解题技巧】

在处理解三角形过程中，要注意"整体思想''的运用，可起到事半功倍的效果。

如：在ZiABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程/一26t+2=0的两个根，且2cos（A+8）=1。求：（1）

角C的度数；（2）AB的长度。

【解析】（1）cosC=cos[〃一（A+8）]=-cos（A+8）=-；/.C=120°

a+b=2y[^

，・•.AB2=AC2+BC2-2ACeBCcosC=a2+b2-2tz/?cosl20°

{ab=2

=ci1+h2+ab=（«+Z?）2—ab=（2-73）-2=10,,A3=e

【易错点睛】

己知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，

应引起注意.

如：在aABC中，a=2A/3，b=2A/2»B=45°,则A等于()

A.30°B.60°C.60。或120°D.30。或150°

【解析】由正弦定理，可得随-=二旦,解得sinA=3；

sinAsin45°2

因为a=2G>b=20，.,.A〉B=所以A=60°或120°，故选C.

4

热点二利用正余弦定理判断三角形形状

1.若(a+〃+c)(b+c—a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么2148。是()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】；(a+b+c(b+c-a)=3bc,/.[(Z?+c)+ci^b4-c)-a]=3bc,(Z?+c)2-a2=3hc,

b2-bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2-2Z;ccosA，b2-bc+c1=a2=b2+c2-2bccosA，

1SinA

BPbc=2bccosA即cosA=—,，A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则-----=2cosA,即

f2sin£?

f=2。+：j],化简可得，〃=。2,即力=c,.•.AABC是等边三角形，故选B.

bI2bcJ

2.AA3C中，若Iga—lgc=lgsin8=—lg正且3e(0,5),则AA8C的形状是()

A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

【答案】C

【解析】Vlg«-lgc=lgsinB=-lgV2,—=sin8,sinB=.,:B6(0,g),：.B=£.

c224

_sinA_V2,=0sinA=&sin(^^—C)=>/2(-^-cosC+-^-sinC)，化为

csinC2422

TT7T

cosC=0,vCeCO,万)，C=-.；.A=1—6—C=—.，AABC是等腰直角三角形.故选C.

24

【方法规律】

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三

角形的形状；

2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关

系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+8+C=兀这个结论.

【解题技巧】

熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用

如：在AABC中，己知/=。2+02+A，则角人为（）

71712万1一2万

A.—B.—C.—D.—或——

36333

【解析】考虑余弦定理的公式特点，则：•.•/=〃+。2+/?£>,.•.从+。2一/=—"c，

b-+c~-a~—he1)r\tA2万,,.

则cosA-----------=----=—,又A——，故选14C.

2bc2bc23

【易错点睛】

在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不要漏解。如:

⑴新课标A版第10页，第B2题（例题）在A4BC中，如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形

的形状具有什么特点.

【解析】法"：利用正弦定理及acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28;

rr

・・・0<A,8〈乃,二24=2吕或2\+28=万,即4=39+8=,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.

：T7

扇42_222_r2

法二：利用余弦定理及acosA=0cos8,得〃♦匕三~_匕，化简得

2bc2ac

（a+"（a—6）（/+〃—。2）=0,则〃=〃旦支〃2+〃2=",即三角形是等腰三角形或直角三角形.

热点三利用正余弦定理求三角形面积

I.在△ABC中，a、b、。分别是内角A、B、。的对边，Jix/3Z?cosA=sinA（acosC+ccosA）.

（1）求角A的大小；

（2）若q=2百，AA6C的面积为土求△ABC的周长.

4

【答案】（1）A=-；（2）5百・

3

【解析】（1）；V§/?cosA=sinA（〃cosC+ccosA）,

由正弦定理可得石sinBcosA=sinA(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsin(A+C)=sinAsinB,

即6$由8<：0524=5皿245抽3,・・飞由3力0,・・・1@114=6，・・・4£(0,兀)，・・.24=方.

(2)'：A=-,a=2百，△ABC的面积为.•.」Z?csinA=^bc=^,，Ac=5,

34244

222

；.由余弦定理可得：a=b+c-2从cosA，即12="+/一反=(}+。尸-3/7c=3+c>一15,

解得：b+c=3百，•・.△ABC的周长为a+Z?+c=2j5+3百=5百.

【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角

形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得GsinBcosA=sinAsin5，由sin8。0，

可求tanA=百，结合Ae(0,7i),可求A=1.

(2)利用三角形的面积公式可求Ac=5,进而根据余弦定理可得人+c=36，即可计算八45。的周长的

值.

2.【2017课标3,理17WBC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c.己知sinA+geosA=0，a=2g,b=2.

(1)求c；

(2)设。为8C边上一点，且401AC,求△ABO的面积.

【答案】(l)C=4;

⑵6

【解析】(1)由已知得tanA=—百.所以A=《-,在AA8C中，由余弦定理得

24

28=4+c2-4ccos——，即C2+2C-24=0.解得：c=-6(舍去)，c=4.

3

(2)由题设可得NGLD=W,所以NBHZ>=NBXC-NC4D=¥.

26

1冗

-.IB-.W-sin-

故MBD面积与A4C0面积的比值为J---------色=1.

-ACAD

2

又的面积为：x4x2sinN5/C=2/，所以的面积为石.

【方法规律】

常用三角形的面积公式

①S=-ah

2

②S=—ahs}nC=—bcsinA=—acsinB

222

③S=\p(p-G(p-b)(p-c)=p・r(p是周长的一半,即〃,〃为内切圆半径);

④S=—(R为外接圆半径).

4R

【解题技巧】

在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.

如：A4BC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且抄ccosC+c=2«.

(1)求角8的大小；

(2)若8。为AC边上的中线，cosA=‘，50=《画，求AABC的面积.

72

【答案】(1)5=(.(2)10上.

【解析】(1)2Z?COSC+C=2Q,由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA,

,:A+B+C=乃,:.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2sinBcosC+sinC=2(sinBcosC+cosBsinC)，.二sinC=2cosBsinC

<0<C<"，.••以sinCw0,，cosB=—.

2

-71

X•'0<JB<7T»B=一.

3

Vi292,久2cb.129h2I,

(2)在415。中，由余弦定理得(z———)x2=c+(—)—2c,—cosAA>・・4=c2+——ibe…①,

在A45C中，由正弦定理得一^=二勺，由已知得sinA=生叵.

sinCsinB7

c/o5

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosiB+cosAsinB=-----，,:c=-b.......②，

147

仿=7

由①，②解得u，•••S“A8C=—besinA=10\/3.

1c=52

【易错点睛】

在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如:

3

已知^ABC的面积为5,且8=2,c=g,则NA等于（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【解析】由三角形的面积公式S=’0csinA,得，x2xJ5sinA=3,解得：sinA=—;

2222

•.•0°<4<180°,所以4=60°或120°.

【热点预测】

1.已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，若b=6三内角A,B,C成等差数列,

则该三角形的外接圆半径等于（）

A.3B.2C.1D.4

【答案】C

71b

【解析】A,B,C成等差数列，所以8==----=2=>/?=1

sinfisi,n71

3

2.在△ABC中，a,b,。分别为角A，B，。的对边，若△ABC的面积为S,且4Gs=（。+匕）？—c?,

则sin1C+：J=()

0

A.1RJt).--------

2

c瓜-近DV6+\/2

、44

【答案】D

【解析】由46S=(a+g2—c2,得4百xg"sinC="+〃—,2+2",♦.♦/+力2_=2abcosC，

；•2ga/?sinC=2a0cosC+2ab，即6sinC-cosC=1，即2sin(c-：]=1,ijii]sinfC--=—,

兀c兀5兀「兀兀rr「兀

V0<C<7T,——<C一一<—,/.C—=-，KJC=一

666663

「兀、.『兀兀、.兀兀71.itJi411V2J6+V2

则sinC+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=_^—+—x^—=—~—

I4；U4j34342x2224

IT

3.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=7则角C等于（）

6

IT71431T3ITTT

A.-B.一或一C.—D.—

64444

【答案】D

222

【解析】在AABC中，由余弦定理，得cosA=+」-a2,即坦=堂士老，...b+c-a=V3bc，又

2bc22bc

____152_j_a2_c2[2口

=a2+be,：•c2+be—、/3bc,c—-l）bvb,a=,2-:.cosC=----------=—:.C=—•

2ab24

4.在AABC中，若siYA+siZBVsir?。，则AABC的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.不能确定

【答案】A

【解析】因为在AA3C中,满足sin?A+sinB?<sin?C，由正弦定理知sinA=2,sinB=—,sinC=£,

2R2R2R

〃2,1,2_2

代入上式得/+》2<。2,又由余弦定理可得cosC=±2―—<0,因为C是三角形的内角，所以