专题01比例线段及黄金分割点压轴题型全

专题01比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【考点一比例线段的识别】 1【考点二比例线段的计算】 2【考点三黄金分割点的定义】 2【考点四黄金分割点的应用】 3【考点五黄金分割点的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一比例线段的识别】【例题1】若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C． D．【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【详解】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【点睛】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．【变式1】已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（）．A．2a=5b B. C.a+b=7 D.【答案】C．【变式2】由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A． B． C． D．【答案】D.【详解】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．【考点二比例线段的计算】【例题2】设，求的值．【分析】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．【详解】设＝k则x＝2k，y＝3k，z＝4k原式＝＝＝【点睛】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．【变式1】若=，则=（）. B. C. D.无法确定【答案】C.【变式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【详解】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【点睛】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【变式3】已知：．求k值．【分析】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，b+c=a，c+a=b，a+b=c，∴k为其中任何一个比值，即k==1;②a+b+c≠0时，k=．∴k=1或.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．【考点三黄金分割点的定义】【例题3】已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.【答案】B.【详解】根据题意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．【变式1】已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长为__________cm；【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；【详解】∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．【变式2】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（） B. C.或 D.以上都不对【答案】C.【详解】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．【考点四黄金分割点的应用】【例题4】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【答案】C.【详解】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：y≈8cm．故选C．【变式1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.【答案】6.2或3.8【详解】由题意知AC：AB=BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=106.2=3.8．故答案为：6.2或3.8．【变式2】如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【答案】62．【详解】根据题意可知，BC=AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD=36°，BC=BD，∴∠ABD=∠ABC∠CBD=36°=∠A，∴BD=AD，同理可证DE=DC，∴DE=DC=ACAD=ABBC=ABAB=62．故答案为：62．【考点五黄金分割点的拓展提高】【例题5】是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？【分析】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．【答案与详解】矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：因为＝＝所以矩形ABFE也是黄金矩形．【点睛】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.【变式1】如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（）.144° B.135° C.136° D.108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.【变式2】图1是一张宽与长之比为：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵=，∴=，即点F是线段AD的黄金分割点．∴=，∴=，【变式3】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝。∵PF＝PD，∴AF＝，在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点．【过关检测】一．选择题1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为().A．3km B．30km C．300km D．3000km【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1000000.2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（）.A. B. C. D.【答案】B．3.（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）.A.5 B. C. D.5【答案】A．【解析】∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．4.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.> B.= C.< D.无法确定【答案】B．【解析】根据黄金分割的概念得：，则==1，即S1=S2．故选B．5.若，则下列式子中不正确的是（）.A. B. C. D.【答案】A．【解析】根据题意，设x=3k，y=4k，分别代入，A、左边=，错误；B、左边==4，正确；C、左边=，正确；D、左边=，正确．故选A6.宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D.【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形二.填空题7.已知，则a：b=______________．【答案】a：b=线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为cm．【答案】5﹣5．【解析】设AP=x，则BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），∴AP的长为（5﹣5）cm．故答案为：5﹣5．已知三个数1，2，，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________，（填写一个即可）．【答案】2或或．【解析】设所求数为x．分四种情况：①如果x，1，2，，这四个数能成比例，那么x：1=2：，x=；②如果1，x，2，，这四个数能成比例，那么1：x=2：，x=；③如果1，2，x，，这四个数能成比例，那么1：2=x：，x=；④如果1，2，，x，这四个数能成比例，那么1：2=：x，x=2．综上，可知这个数是2或或．已知若若5x4y=0,则x:y=________.【答案】在△ABC和△A'B'C'，中，==．若△ABC的周长等于12，则△A'B'C'的周长等于________．【答案】18．【解析】∵==，∴=．∵△ABC的周长等于12，∴△A'B'C'的周长=12÷=18．故答案为：18．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．【答案】K2007（K+2）.【解析】第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）三．综合题13.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．【解析】（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°∠CDA∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=．∵BA=BC=2，BD=AC=，∴AD=BABD=2（）=3，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．14.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）【解析】解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20