河北衡中同卷2025届高二上数学期末联考试题含解析

河北衡中同卷2025届高二上数学期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）A. B.C. D.2．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.3．如果向量，，共面，则实数的值是（）A. B.C. D.4．已知直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣25．已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B.C.2 D.16．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥07．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.9．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺10．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）A. B.C. D.11．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.12．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点和，M是椭圆上一动点，则的最大值为________.14．由曲线围成的图形的面积为________15．已知数列的前4项依次为，，，，则的一个通项公式为________16．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温(单位：℃)为太阳落山后的时间(单位：)．当________时，蜥蜴体温的瞬时变化率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.18．（12分）已知函数(其中为自然对数底数)（1）讨论函数的单调性;（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）设函数.（1）当k＝1时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值m和最大值M.20．（12分）已知二次函数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若，解关于x的不等式.21．（12分）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排.中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值；（2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？（3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差.已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）附：，，.22．（10分）已知圆经过点和，且圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】连接，可得，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，设，设，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，连接，在正方体中，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，由在长方体中，，，设，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因为，所以.故选：C.2、B【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.3、B【解析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【详解】由于向量，，共面，设，可得，解得.故选：B.4、B【解析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得a的值【详解】∵直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故选：B5、A【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由可知，此直线可用由直线平移得到，求的最大值，即直线的截距最大，当直线过直线的交点时取最大值，即故选：6、C【解析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.7、A【解析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时,同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;8、A【解析】根据双曲线的定义及直角三角形斜边的中线定理，再结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图所示由题意可知，根据双曲线的定义知，是的中点且.在中，是的中点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以.所以是等边三角形，.在中，.由双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率为.故选：A.9、A【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A10、C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，因为下一段圆弧半径为13，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为，故选：C11、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.12、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题设条件可知，.当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值.由此能够求出的最大值.【详解】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当M不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.14、【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，在第一象限为弓形，其面积为，故.故答案为：.15、（答案不唯一）【解析】观察数列前几项，找出规律即可写出通项公式.【详解】根据数列前几项，先不考虑正负，可知，再由奇数项为负，偶数项为正，可得到一个通项公式，故答案为：（不唯一）16、5【解析】求得导函数，令，计算即可得出结果.【详解】，，令，得：.解得：.时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为故答案为：5.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，若成等比数列，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.18、（1）答案见解析（2）【解析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.【小问1详解】解：①，在上单调增；②，令，单调减单调增；③，单调增单调减.综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】解：由题意知在上恒成立，令，，单调递增∵，∴使得，即单调递减；单调递增，令，则在上单调增，∴实数的取值范围是19、（1）增区间为（2），【解析】（1）求导，由判别式可判断导数符号，然后可得；（2）求导，求导数零点，比较函数极值和端点函数值，结合单调性可得.【小问1详解】因为，所以，，因为，所以恒成立所以的增区间为.【小问2详解】当时，，令，解得，当时，，当时，，当时，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以在区间上的最大值，最小值为20、（1）（2）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为【解析】（1）带入，将化解为，再利用基本不等式求最值即可；（2）将不等式移项整理为，再对a分类讨论，比较两根的大小，即可求得解集.【小问1详解】当a=3时，函数可整理为，因为，所以利用基本不等式，当且仅当，即时，y取到最小值.所以，当时，函数的最小值为.【小问2详解】将不等式整理为，令，即，解得两根为与1，因为，当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的