2025届云南省通海三中数学高二上期末达标检测试题含解析

2025届云南省通海三中数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的流程图，则输出k的值为（）A.3 B.4C.5 D.22．甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩3．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切4．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.15．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.6．设点是点，，关于平面的对称点，则（）A.10 B.C. D.387．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）A.1 B.2C.3 D.48．已知函数，若，则等于（）A. B.1C.ln2 D.e9．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）A. B.C. D.10．已知为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B.C. D.11．已知数列满足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.10412．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若，则该圆的半径r的取值范围是____________.14．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△的面积为2，边上中线的长为．且，则△外接圆的面积为___________15．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；16．已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则符合条件的的一个整数值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（12分）已知函数.（1）当时，求的最大值和最小值；（2）说明的图象由函数的图象经过怎样的变换得到？19．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.20．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点.22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若．证明：为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据程序框图运行程序，直到满足，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，则，，不满足，循环；，，不满足，循环；，，不满足，循环；，，满足，输出结果：故选：B.2、A【解析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好，结合题意进行推导，可得出结论.【详解】由于个人中的成绩中有位优秀，位良好，甲知道乙、丙的成绩，还是不知道自己的成绩，则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好，甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好，因为给乙看丙的成绩，则乙必然知道自己的成绩，丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩.故选：A.3、A【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A4、B【解析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B5、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)6、A【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长【详解】点是点，，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，，，，直线与轴平行，，故选：A7、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.④，若为空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在不全为零的，使得，故，因为为空间的一个基底，，故，矛盾，故不共面，所以构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是个.故选：B8、D【解析】求导，由得出.【详解】，故选：D9、A【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.故选：A.10、C【解析】设，则的几何意义为圆上的点和定点连线的斜率，利用直线和圆相切，即可求出的最小值；【详解】圆，它圆心是，半径为1，设，则，即，当直线和圆相切时，有，可得，，的最小值为：，故选：11、D【解析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，因为，所以，故选：D12、D【解析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.【详解】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出直线的方程为，代入抛物线方程，消去，可得关于的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.【详解】抛物线C：y2=8x的焦点为,设以为圆心的圆的半径为，可知，，设，直线的方程为，则，代入抛物线方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案为：14、或【解析】由已知，结合正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，再根据三角形面积公式、余弦定理列方程求边长b、c，应用余弦定理求边长a，根据正弦定理求外接圆半径，再用圆的面积公式求面积.【详解】由题设及正弦定理边角关系有，又，∴，∴，∴．又，∴，即又据题意，得，且，∴或，故或，∴△外接圆的半径或，∴△外接圆的面积为或故答案为：或15、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.16、.(答案不唯一)【解析】给出一个符合条件的值即可.【详解】当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故答案为：.(答案不唯一)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得【小问1详解】根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径可得：则圆锥的侧面积为：【小问2详解】如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线则有：，，易知，则，又直径AB与直径CD垂直，则则有：为二面角可得：又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为故二面角大小为18、（1）2，；（2）答案见解析.【解析】(1)根据，求出范围，再根据正弦函数的图像即可求值域；(2)根据正弦函数图像变换对解析式的影响即可求解.【小问1详解】当时，有，可得，故，则的最大值为2，最小值为.【小问2详解】先将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；最后把所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，这时得到的就是函数的图象.19、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点（2）答案见解析【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.【小问1详解】根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.【小问2详解】解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，，由抛物线定义知：，当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.20、（1）（2）【解析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最