辽宁沈阳市第31中学2025届高二上数学期末统考模拟试题含解析

辽宁沈阳市第31中学2025届高二上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，则（）A. B.C. D.2．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（）A.5 B.31C.38 D.413．已知数列满足，且，则的值为（）A.3 B.C. D.4．下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.5．直线的倾斜角的大小为（）A. B.C. D.6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）A. B.C. D.7．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.108．已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（）A.1 B.C.2 D.39．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于（）A. B.2C. D.410．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（）A. B.3C. D.611．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.12．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与直线垂直，则实数的值为___________.14．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________15．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______16．直线与直线间的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点，点在抛物线上.（1）求；（2）过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于两点，证明：为直角三角形（为坐标原点）.18．（12分）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为（1）若，，求数列的前n项和；（2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；（3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，19．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.20．（12分）已知椭圆的焦点为，且长轴长是焦距的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，已知点，求面积的最大值21．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值22．（10分）已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.（1）若为假命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.2、A【解析】设等差数列的公差为d，首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，由题知：，解得.故选：A.3、B【解析】根据题意，依次求出，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案.【详解】因为数列满足，，所以，所以，，，可知数列具有周期性，周期为3，，所以.故选：B4、B【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解【详解】选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，错误；选项D，，错误故选：B5、B【解析】由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选6、C【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.【详解】由函数的图象可知,在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时,;当x∈(0,2)时,.因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选:C7、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D8、B【解析】先求出点的坐标，然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可【详解】因为为抛物线上一点，所以，得，所以，抛物线的焦点为，因为点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，所以，化简得，因为，所以，故选：B9、A【解析】由正弦定理求解即可.【详解】因为，所以故选：A10、C【解析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，∴，∴，∴，故选：C11、C【解析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.12、C【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为4的正方形，，∴，，，因为,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由直线垂直的充要条件列式计算即可得答案.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，解得故答案为：14、【解析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程【详解】圆的方程可化为，可知圆心为设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题15、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.【详解】解：由题得圆的圆心为，双曲线的渐近线方程为，即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为：216、【解析】利用平行间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线、间的距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得.（2）由题，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，可得，利用韦达定理证得即可得出结论.【小问1详解】点在抛物线上.，则，所以.【小问2详解】证明：由题，设直线的方程为：，点联立方程，消得：，由韦达定理有，由，所以，所以，所以，所以为直角三角形.18、（1）（2）,证明见解析.（3）不存在，【解析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.【小问1详解】，，数列是公比为q的等比数列，，数列为，数列为首项为公差为的等差数列，数列的前n项和.【小问2详解】，，成等差数列，+=2，当时,+=,2,不符题意舍去，当时，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，，，.【小问3详解】由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，,即，解得：方程组无解.即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为.19、（1）（2）【解析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.【小问1详解】设公切线与的图像切于点，f'(x)=1+lnx⇒f由题意得：；【小问2详解】当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：20、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c，长短半轴长a，b即可得解.(2)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦AB长及点P到直线的距离，然后求出面积的表达式并求其最大值即得.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，设直线，，由消去y并整理得：，由，解得，则有，，于是得，而点到直线的距离为，因此，的面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积最大值为1.【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；直线l：x=my+t上两点间的距离.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于点，∵四边形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中点，连接，∵是边长为4的菱形，，∴，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，同理可得，平面的一个法向量为，∴，由图知，平面与平面所成角为锐角，故平面与平面所成角余弦值为22、（1）（2）【解析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参