人教版九年级数学上册重难考点专题09圆单元过关(培优版)特训(原卷版+解析)

专题09圆单元过关（培优版）考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2022秋·吉林·九年级期末）在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（）A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm2．（2022春·九年级单元测试）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．32 B．52 C．433．（2023·全国·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断4．（2021·海南·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．80°5．（2022秋·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（）A．23 B．3 C．2 D．6．（2021秋·九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（

）A．8 B．4 C．10 D．57．（2022秋·九年级课时练习）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．3cm C．23cm D．28．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则S阴影A．π B．2π C．233 D．9．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD=30°，CD=43A．2π−4 B．8π3−43 C．4π10．（2022秋·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（

）A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③都是第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023·浙江温州·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径是．12．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为40π，底面半径为4的圆锥模型，则此圆锥的母线长为．13．（2022·安徽·一模）如图，已知等腰△ABC，AB=AC=6，∠BAC=50°，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE的长为．14．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8cm,CD=2cm，则⊙O的半径为15．（2023·四川泸州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是．

16．（2022春·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．评卷人得分三、解答题17．（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．18．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，点D是△ABC外接圆的圆心，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度数．19．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A−2，0，B

(1)将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△A1B(2)将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到(3)在（2）的条件下，求△A1B20．（2022春·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；（2）若CD＝42，BE＝4，求⊙O的半径．21．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD=BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．（1）求证：∠A=2∠BDF；（2）若AC=6，AB=10，求CE的长．22．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O与矩形ABCD的BC边相切于M点，与AD边相交于点E，F，若EF＝CD＝4cm，求⊙O的半径．23．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知在坐标系xOy内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．(1)求证：∠PNM+∠PDQ=180°−∠QMN.(2)若NP=QM，求证：点D在MN的垂直平分线上．24．（2023·广东广州·校考一模）如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．

(1)求证：AB=DN；(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论．25．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．

(1)求证：AP=AB；(2)若OB=4，AB=3，求线段BP的长．

专题09圆单元过关（培优版）考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2022秋·吉林·九年级期末）在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（）A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm【答案】C【分析】直接运用弧长公式计算即可．【详解】解：弧长为：l=150π×12故选：C．【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式l=nπR2．（2022春·九年级单元测试）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．32 B．52 C．43【答案】D【分析】设AD=x，利用切线长定理得到BD=BE=1，AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，然后根据勾股定理得到x+12【详解】解：设AD=x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD=BE=1，∴AB=x+1，AC=AD+CE=x+4，在RtΔABC中，x+12+即AD的长度为53故选D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．3．（2023·全国·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断【答案】A【分析】由⊙O的半径为5，PO=4知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案．【详解】解：∵⊙O的半径为5，PO=4，∴点到圆心的距离小于半径，∴点P在圆内，故选：A．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=r，则有①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d<r．4．（2021·海南·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】根据圆内接四边形求得∠ADC的度数，根据AB＝BC，AB=BC，则∠BPC=1【详解】如图，连接AP,∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，∴∠ADC=100°∵∴∠ADC=∠APC∵AB＝BC，∴AB∴∠BPC=∠APB=故选B【点睛】本题考查了圆内接四边形，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠ADC是解题的关键．5．（2022秋·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，过点B作⊙O的直径BD，连接AD，若AD=6，则AC的长为（）A．23 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=30°，再根据圆周角定理得到∠D=∠C=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度的三角形三边的关系求解．【详解】解：∵A为劣弧BC的中点，∴AB=AC，又∵∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠D=∠C=30°，∵A为劣弧BC的中点，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=2AB，∴AD=3AB∴AB=33AD=23∴AC=AB=23，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2021秋·九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（

）A．8 B．4 C．10 D．5【答案】D【详解】解：如图，连接OA,∵OM⊥AB，∴AM=12AB由勾股定理得：OA=AM2+O故选D．7．（2022秋·九年级课时练习）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【答案】C【分析】先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD=12OB=1cm，由勾股定理求得AD=3【详解】过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，∴AD=BD∵将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=12OB在RtΔADO中，由勾股定理得∴AB=23故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则S阴影A．π B．2π C．233 D．【答案】D【分析】根据垂径定理求得CE=ED=3；然后由圆周角定理知∠COE＝60°．然后通过解直角三角形求得线段OC、【详解】解：如图，假设线段CD、AB交于点∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥∴CE=ED又∵∠CDB∴∠COE=2∠CDB∴OE=CE•cot60°=∴S阴影=S扇形OCB−S△COE+S=23π−12OE∙EC=2故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算．注意解此题的思路是：采用了“分割法”求得阴影部分的面积．9．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD=30°，CD=43A．2π−4 B．8π3−43 C．4π【答案】B【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，解直角三角形求出BC=2BE，求出BE=2，BC=4，求出△COB是等边三角形，求出OC=OB=BC=4，再求出答案即可．【详解】解：连接OC，∵CD⊥AB，AB过O，CD=43∴CE=DE=12CD=2∵∠BCD=30°，∴∠CBO=90°−∠BCD=60°，BC=2BE，由勾股定理得：BC即2BE2解得：BE=2，∴BC=4，∵∠CBO=60°，OC=OB，∴△COB是等边三角形，∴OC=OB=BC=4，∴阴影部分的面积S=S故选：B．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．10．（2022秋·浙江杭州·九年级期末）如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（

）A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③都是【答案】D【分析】①△ABC的高CF、BG相交于点H，根据同角的余角相等，即可求得∠ABG=∠ACF，即可得AD=AE；②首先延长AH交BC于M点，由H是垂心，根据同角的余角相等，即可得∠ACB=∠AHE，则可证得∠AHE=∠AEB，根据等角对等边的性质，即可得AH=AE；③由①②，易得△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，又由DE为△ABC的外接圆的直径，易求得∠ADE=∠BAC=45°，则可得BC=AE．【详解】∵CF、BG是△ABC的高，∴∠AGB=∠AFC=90°，∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，∴∠ABG=∠ACF，∴AD=AE，故①正确；延长AH交BC于M点，∵H是垂心，∴AM⊥BC，∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，∴∠ACB=∠AHE，∵∠ACB=∠AEB，∴∠AHE=∠AEB，∴AE=AH，故②正确；由①②可知AD=AE=AH，∵∠AGH=∠AGE=90°，AG=AG，∴△AHG≌△AEG（HL），同理：△ADF≌△AHF（HL），∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，∴∠BAC=12∵当DE为直径时，∠DAE=90°，∴∠BAC=45°，∵在Rt△ADE，AD=AE，∴∠ADE=45°，∴AE=BC，故③正确．故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质与三角形的综合，掌握圆周角定理，三角形高的定义，是解题的关键．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023·浙江温州·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径是．【答案】4【分析】根据“圆锥的底面周长等于其展开图的扇形的弧长”列式计算即可得．【详解】解：设该圆锥的底面半径是r，由题意得：2πr=1解得r=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图是解题关键．12．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为40π，底面半径为4的圆锥模型，则此圆锥的母线长为．【答案】10【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到12【详解】解：如图，设此圆锥的母线长为l，根据题意得：12解得：l=10，∴此圆锥的母线长为10．故答案为：10．【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的相关知识是解题的关键．13．（2022·安徽·一模）如图，已知等腰△ABC，AB=AC=6，∠BAC=50°，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE的长为．【答案】5π【分析】连接OD、OE，先求出∠AOD和∠BOE的度数，再求出∠DOE的度数，，再由弧长公式即可得出答案．【详解】解：连接OD、OE，如图所示：∵AB=AC=6，∠BAC=50°，∴∠C=∠B==65°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠B==65°，∴∠BOE==50°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA==50°，∴∠AOD=80°，∴∠DOE=50°，∵AB=6，∴OE=1∴DE=故答案为：56【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、弧长公式；熟练掌握弧长公式是解决问题的关键．14．（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB=8cm,CD=2cm，则⊙O的半径为【答案】5【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程R2【详解】解：连接OA，∵C是AB的中点，∴OC⊥AB∴AD=1设⊙O的半径为R，∵CD=2cm∴OD=OC−CD=(R−2)cm在RtΔOAD中，OA2=A解得，R=5即⊙O的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．15．（2023·四川泸州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是．

【答案】10.5【分析】设⊙O与AC相切与点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1−OQ1【详解】解：设⊙O与AC相切与点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交

此时垂线段OP1最短，P1∵AB=15，AC=12，BC=9，∴AB∴∠C=90°，∵∠OP∴OP∵AO=OB，∴P1∴OP同理OE=1∴P1Q1如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2∴PQ长的最大值与最小值的差是10.5，故答案为：10.5．【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理等，正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置是解题关键．16．（2022春·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【答案】2【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．【详解】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，则OE∥BC，且OE=12BC=2，OF∥AC∴四边形CEOF为平行四边形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四边形CEOF为正方形，∴CE=CF=2，EF=OC，由勾股定理得：EF=OC=22∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4∴AB=2∴OC=12AB=2∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，

∴点M在以OC为直径的圆上，当点P点在点A时，M点在E点；点P点在点B时，M点在F点，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=1故答案是：2π【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．评卷人得分三、解答题17．（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．【答案】（1）详见解析；（2）34【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．【详解】证明：如图，连结OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为135×π180【点睛】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.18．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，点D是△ABC外接圆的圆心，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度数．【答案】∠BOC=145°，∠BDC=140°【分析】如图，在⊙D上取点H，连接BH,CH,由圆的内接四边形的性质求解∠H，再利用圆周角定理求解∠BDC,O为△ABC的内心，可得OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,结合三角形的内角和定理可得∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=【详解】解：如图，在⊙D上取点H，连接BH,CH,∵四边形ABHC为⊙D的内接四边形，∠A=110°，∴∠H=180°−110°=70°，∴∠BDC=2∠H=140°,∵O为△ABC的内心，∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−35°=145°.【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．19．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A−2，0，B

(1)将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△A1B(2)将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到(3)在（2）的条件下，求△A1B【答案】(1)见解析(2)见解析，C(3)35【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1（2）分别作出A1，B1，（3）利用扇形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示，△A

；（2）解：如图所示，△A2B（3）解：S=π4⋅OC【点睛】本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇形面积公式是解题的关键．20．（2022春·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；（2）若CD＝42，BE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）65°；（2）3【分析】（1）根据等边对等角、同弧所对的圆周角相等以及直角三角形两锐角互余即可求得答案；（2）首先根据垂径定理求得CE=22【详解】解：（1）∵OC=OB∴∠BCO=∠B∵∠B=∠D∴∠D=∠BCO=25°∵CD⊥AB∴在Rt△ADE中，∠A=90°−25°=65°．（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E∴CE=∴在Rt△OCE中，O∴设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=BE−OB=4−r∴r∴r=3∴⊙O的半径为3．【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、直角三角形两锐角互余、垂径定理以及利用勾股定理解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD=BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．（1）求证：∠A=2∠BDF；（2）若AC=6，AB=10，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接AD，先证明CD=（2）连接BC交OD于P，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由CD=BD得到OD⊥BC，则CP＝BP，OP∥AC，根据O为AB的中点得到OP为Rt△ABC的中位线，可求出OP＝【详解】（1）证明：连接AD，如图，∵CD＝BD，∴CD=∴∠1＝∠2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠3+∠4＝90°，∵OD＝OB，∴∠3＝∠OBD，∴∠1＝∠4，∴∠A＝2∠BDF．（2）解：连接BC交OD于P，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵CD=∴OD⊥BC，∴CP＝BP，OP∥AC，∵O为AB的中点，∴OP为Rt△ABC的中位线，∵AC＝6，∴OP＝12∵AB＝10，∴OD＝5，∴DP＝5－3＝2，∵∠BCE＝∠CPD＝∠EDP＝90°，∴四边形CEDP为矩形，∴CE＝DP＝2．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，中位线等知识．熟练掌握各个知识点是解题的关键．22．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O与矩形ABCD的BC边相切于M点，与AD边相交于点E，F，若EF＝CD＝4cm，求⊙O的半径．【答案】52【分析】连接并延长MO，交EF于点G，交⊙O于点H，连接OF，设⊙O的半径为r，先根据垂径定理求出FG的长，再证明四边形GMCD是矩形，在Rt△OGF中，根据勾股定理列方程即可求出⊙O的半径．【详解】如图所示，连接并延长MO，交EF于点G，交⊙O于点H，连接OF，设⊙O的半径为r，∵⊙O与BC相切于点M，∴BC⊥OM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠OGF=∠OMB=90°，∵MH是⊙O的直径，且MH⊥EF，EF=CD=4，∴FG=EG=1∵∠OMC=∠C=∠D=90°，∴四边形GMCD是矩形，∴GM=CD=4，OG=4−r，在Rt△OGF中，由勾股定理得：r2解得：r=5∴⊙O的半径为52【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理，矩形的判定与性质和勾股定理，解题关键是作出适当的辅助线，以便于应用垂径定理和勾股定理解题．23．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）已知在坐标系xOy内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．(1)求证：∠PNM+∠PDQ=180°−∠QMN.(2)若NP=QM，求证：点D在MN的垂直平分线上．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设直线PN，QM交于T，由切线的性质得到∠DPT=∠DQT=90°，再由四边形内角和定理得到∠D+∠PTQ=180°，由三角形外角的性质得到∠PTQ=∠PNM+∠QMN，由此即可推出（2）如图所示，连接DN，DM，证明△DPN≌△DQMSAS，得到DN=DM，即可证明点D【详解】（1）证明：设直线PN，QM交于∵PN，PQ是圆∴∠DPT=∠DQT=90°，∴∠D+∠PTQ=360°−∠DPT−∠DQT=180°，∵∠PTQ=∠PNM+∠QMN，∴∠D+∠PNM+∠QMN=180°，∴∠PNM+∠PDQ=180°−∠QMN；（2）解：如图所示，连接DN，在△DPN和△DQM中，DP=DQ∠DPN=∠DQM=90°∴△DPN≌△DQMSAS∴DN=DM，∴点D在MN的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，四边形内角和定理，三角形外角的性质等等