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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安建筑科技大学附属中学高三(上)月考数学试卷(一模)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−x<−2},N={−4,−2,0,2,4,6,8},则M∩N=(
)A.{−4,−2,0} B.{−4} C.{4,6,8} D.{0,2,4,6,8}2.|i−2i3|=A.3 B.1 C.3 D.3.若数列{an}满足a1=11,A.704 B.222 C.88 4.已知函数f(x)=lnx,则函数y=f(f(x))的零点为(
)A.1 B.0 C.e D.5.若椭圆x2+y22=1的长轴长为A.79 B.−79 C.−6.在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展开式中,含x3的项的系数是7,则m+n=(
)A.1 B.2 C.3 D.47.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为(
)A.62
B.6
C.6π
8.已知函数f(x)=sin2x−3cos2x在[α,π3]与[α+π3A.[−π2,−5π12] B.[−二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=ln|x|,则(
)A.f(x)为偶函数 B.f(−4)<f(3)
C.f(x)无零点 D.f(x)在(−∞,0)上单调递减10.某地农科所为研究新的大豆品种,在面积相等的80块豆田上种植一种新型的大豆,得到各块豆田的亩产量(单位:kg),将所得数据按[150,160),[160,170),[170,180),[180,190),[190,200),[200,210]分成六组,得到如图所示的频率分布直方图,
则下列结论正确的是(
)A.这80块豆田的亩产量的中位数低于180kg
B.这80块豆田的亩产量的极差不高于60kg
C.在这80块豆田中,亩产量不低于190kg的豆田所占比例为20%
D.这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于180kg11.如图,在平面直角坐标系xOy中,点B1,B2,B3,…,Bn均在x轴正半轴上,点C1,C2,C3,…,Cn均在y轴正半轴上.已知OB1=1,B1B2=2,B2B3=3,…,Bn−1Bn=n(n≥2),OC1=1,C1C2=C2A.第10个倒“L”形的面积为100
B.长方形OBnDnCn的面积为n(n+1)(2n+1)6
C.点D1,D2,D3,…,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a,b满足a=(−2,1),a⋅b=2.若(λa−b13.已知直线y=kx(k≠0)与曲线y=2x4−3x3相切,则14.如图,已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M,N分别为双曲线C的左支、右支上异于顶点的点,且MF1//N四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA−acosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若c=2,b=5,求a;
(3)若c=216.(本小题15分)
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康,降低近视发生的可能性,对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用.某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯,开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动,班主任将竞赛题目分为A,B两组,规定每名学生从A,B两组题目中各随机抽取2道题作答.已知该班学生甲答对A组题的概率均为23,答对B组题的概率均为12.假设学生甲每道题是否答对相互独立.
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率;
(2)设学生甲共答对了X道题,求X17.(本小题15分)
如图,在九面体ABCDEFGH中,平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AFG//平面HCD,AG=GF=CH=HD=21,AB=6,AB=6,底面ABCDEF为正六边形.
(1)证明:GH//平面ABCDEF.
(2)证明:GH⊥平面AFG.
(3)求GE与平面ABG18.(本小题17分)
已知抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0).过F作两条互相垂直的直线l1,l2,且直线l1与Ω交于M,N两点,直线l2与Ω交于E,P两点,M,E均在第一象限.设A,B分别为弦MN,EP的中点,直线ME与直线NP交于点H.
(1)求Ω的方程.
(2)直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(3)19.(本小题17分)
若函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),使得f′(x1)=f(b)−f(a)b−a,f′(x2)=f(b)−f(a)b−a,则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”,其中x1,x2称为f(x)在[a,b]上的中值点.
(1)判断函数f(x)=x3−3x2+1是否是[−1,3]上的“双中值函数”,并说明理由.
(2)已知函数f(x)=12x参考答案1.C
2.A
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.AD
10.BC
11.BCD
12.2513.−1
14.1915.解:(1)由bsinA−acosB=0及正弦定理得,sinBsinA−sinAcosB=0.
因为A∈(0,π),所以sinA≠0,则sinB−cosB=0,即tanB=1.
因为B∈(0,π),所以B=π4.
(2)根据余弦定理得5=a2+2−22a⋅22,即a2−2a−3=0,解得a=3或−1(舍去),故a=3.
(3)方法一:由c=22a和正弦定理,得sinC=22sinA,即sin(3π4−A)=22sinA16.解:(1)易知学生甲恰好答对3道题有以下两种情况:
第一种情况是学生甲答对A组的2道题和B组的1道题,
此时概率P1=(23)2×C21×12×(1−12)=29;
第二种情况是学生甲答对A组的l道题和B组的2道题,
此时概率P2=C21×23×(1−23)×(12)2=19.
则学生甲恰好答对3道题的概率P=P1X01234P111311故E(X)=0×13617.解:(1)证明:记AF,CD的中点分别为I,J,连接GI,IJ,JH,
因为AG=GF=21,AF=6,所以GI⊥AF,且GI=21−9=23
因为平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AGF∩平面ABCDEF=AF,GI⊂平面AGF,所以GI⊥平面ABCDEF,
因为平面AFG//平面HCD,所以平面HCD⊥平面ABCDEF,
同理可得:HJ⊥平面ABCDEF,HJ=23,
所以GI//HJ,且GI=HJ,所以四边形GIJH为平行四边形,所以GH//IJ,
又因为GH⊄平面ABCDEF,IJ⊂平面ABCDEF,所以GH//平面ABCDEF.
(2)证明:由正六边形性质可知,IJ⊥AF,
又平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AGF∩平面ABCDEF=AF,IJ⊂平面AGF,
所以IJ⊥平面AGF,
因为GH//IJ,所以GH⊥平面AGF.
(3)由正六边形性质可知,BE⊥IJ,
以IJ,BE所在直线分别为x,y轴,过其交点O作平面ABCDEF的垂线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则G(0,−33,23),E(−6,0,0),A(3,−33,0),B(6,0,0),
因为GE=(−6,33,−23),AB=(3,33,0),18.(1)解:抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
则有p2=1,
则p=2,
所以抛物线Ω的方程为y2=4x.
(2)解:直线l1,l2与抛物线各有两个交点,可知直线l1,l2斜率存在且不为0,
设直线l1的斜率为k,
则直线l1:y=k(x−1),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由y=k(x−1)y2=4x,
消去x并整理得y2−4ky−4=0,
此时Δ=(−4k)2+16>0,
由韦达定理得y1+y2=4k,y1y2=−4,
由A为弦MN的中点,
有A(x1+x22,y1+y22),
则A(1+2k2,2k),
由垂直的条件,可将k换为−1k,
设E(x3,y3),P(x4,y4),
同理得y3+y4=−4k,y3y19.解:(1)函数f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”.理由如下:
因为f(x)=x3−3x2+1,所以f′(x)=3x2−6x.
因为f(3)=1,f(−1)=−3,所以f(3)−f(−1)3−(−1)=1,
令f′(x)=1,得3x2−6x=1,即3x2−6x−1=0,解得x=3±233,
因为−1<3−233<3+233<3,所以f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”.
(2)①因为f(m)=f(n),所以f(m)−f(n)m−n=0,
因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”,所以f′(x1)=f′(x2)=0.
由题意可得f′(x)=x−lnx−a−1.
设g(x)=f′(x)=x−lnx−a−1,则g′(x)=1−1x=x−1x,
当x∈(0,1)
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