2024-2025学年陕西省西安建筑科技大学附属中学高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安建筑科技大学附属中学高三（上）月考数学试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−x<−2}，N={−4,−2,0,2,4,6,8}，则M∩N=(

)A.{−4,−2,0} B.{−4} C.{4,6,8} D.{0,2,4,6,8}2.|i−2i3|=A.3 B.1 C.3 D.3.若数列{an}满足a1=11，A.704 B.222 C.88 4.已知函数f(x)=lnx，则函数y=f(f(x))的零点为(

)A.1 B.0 C.e D.5.若椭圆x2+y22=1的长轴长为A.79 B.−79 C.−6.在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展开式中，含x3的项的系数是7，则m+n=(

)A.1 B.2 C.3 D.47.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为(

)A.62

B.6

C.6π

8.已知函数f(x)=sin2x−3cos2x在[α,π3]与[α+π3A.[−π2,−5π12] B.[−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=ln|x|，则(

)A.f(x)为偶函数 B.f(−4)<f(3)

C.f(x)无零点 D.f(x)在(−∞,0)上单调递减10.某地农科所为研究新的大豆品种，在面积相等的80块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量(单位：kg)，将所得数据按[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)，[190,200)，[200,210]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，

则下列结论正确的是(

)A.这80块豆田的亩产量的中位数低于180kg

B.这80块豆田的亩产量的极差不高于60kg

C.在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为20%

D.这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于180kg11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B1，B2，B3，…，Bn均在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，Cn均在y轴正半轴上.已知OB1=1，B1B2=2，B2B3=3，…，Bn−1Bn=n(n≥2)，OC1=1，C1C2=C2A.第10个倒“L”形的面积为100

B.长方形OBnDnCn的面积为n(n+1)(2n+1)6

C.点D1，D2，D3，…，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足a=(−2,1)，a⋅b=2.若(λa−b13.已知直线y=kx(k≠0)与曲线y=2x4−3x3相切，则14.如图，已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，M，N分别为双曲线C的左支、右支上异于顶点的点，且MF1//N四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA−acosB=0．

(1)求角B的大小；

(2)若c=2，b=5，求a；

(3)若c=216.(本小题15分)

良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用.某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为A，B两组，规定每名学生从A，B两组题目中各随机抽取2道题作答.已知该班学生甲答对A组题的概率均为23，答对B组题的概率均为12.假设学生甲每道题是否答对相互独立．

(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；

(2)设学生甲共答对了X道题，求X17.(本小题15分)

如图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AFG//平面HCD，AG=GF=CH=HD=21,AB=6，AB=6，底面ABCDEF为正六边形．

(1)证明：GH//平面ABCDEF．

(2)证明：GH⊥平面AFG．

(3)求GE与平面ABG18.(本小题17分)

已知抛物线Ω：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0).过F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1与Ω交于M，N两点，直线l2与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限.设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．

(1)求Ω的方程．

(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

(3)19.(本小题17分)

若函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a,b]上的中值点．

(1)判断函数f(x)=x3−3x2+1是否是[−1,3]上的“双中值函数”，并说明理由．

(2)已知函数f(x)=12x参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.AD

10.BC

11.BCD

12.2513.−1

14.1915.解：(1)由bsinA−acosB=0及正弦定理得，sinBsinA−sinAcosB=0．

因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，则sinB−cosB=0，即tanB=1．

因为B∈(0,π)，所以B=π4．

(2)根据余弦定理得5=a2+2−22a⋅22，即a2−2a−3=0，解得a=3或−1(舍去)，故a=3．

(3)方法一：由c=22a和正弦定理，得sinC=22sinA，即sin(3π4−A)=22sinA16.解：(1)易知学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：

第一种情况是学生甲答对A组的2道题和B组的1道题，

此时概率P1=(23)2×C21×12×(1−12)=29；

第二种情况是学生甲答对A组的l道题和B组的2道题，

此时概率P2=C21×23×(1−23)×(12)2=19．

则学生甲恰好答对3道题的概率P=P1X01234P111311故E(X)=0×13617.解：(1)证明：记AF，CD的中点分别为I，J，连接GI，IJ，JH，

因为AG=GF=21,AF=6，所以GI⊥AF，且GI=21−9=23

因为平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF∩平面ABCDEF=AF，GI⊂平面AGF，所以GI⊥平面ABCDEF，

因为平面AFG//平面HCD，所以平面HCD⊥平面ABCDEF，

同理可得：HJ⊥平面ABCDEF，HJ=23，

所以GI//HJ，且GI=HJ，所以四边形GIJH为平行四边形，所以GH//IJ，

又因为GH⊄平面ABCDEF，IJ⊂平面ABCDEF，所以GH/​/平面ABCDEF．

(2)证明：由正六边形性质可知，IJ⊥AF，

又平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF∩平面ABCDEF=AF，IJ⊂平面AGF，

所以IJ⊥平面AGF，

因为GH//IJ，所以GH⊥平面AGF．

(3)由正六边形性质可知，BE⊥IJ，

以IJ，BE所在直线分别为x，y轴，过其交点O作平面ABCDEF的垂线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则G(0,−33,23),E(−6,0,0),A(3,−33,0),B(6,0,0)，

因为GE=(−6,33,−23),AB=(3,33,0),18.(1)解：抛物线Ω：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，

则有p2=1，

则p=2，

所以抛物线Ω的方程为y2=4x．

(2)解：直线l1，l2与抛物线各有两个交点，可知直线l1，l2斜率存在且不为0，

设直线l1的斜率为k，

则直线l1：y=k(x−1)，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由y=k(x−1)y2=4x，

消去x并整理得y2−4ky−4=0，

此时Δ=(−4k)2+16>0，

由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=−4，

由A为弦MN的中点，

有A(x1+x22,y1+y22)，

则A(1+2k2,2k)，

由垂直的条件，可将k换为−1k，

设E(x3,y3)，P(x4,y4)，

同理得y3+y4=−4k，y3y19.解：(1)函数f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”.理由如下：

因为f(x)=x3−3x2+1，所以f′(x)=3x2−6x．

因为f(3)=1，f(−1)=−3，所以f(3)−f(−1)3−(−1)=1，

令f′(x)=1，得3x2−6x=1，即3x2−6x−1=0，解得x=3±233，

因为−1<3−233<3+233<3，所以f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”．

(2)①因为f(m)=f(n)，所以f(m)−f(n)m−n=0，

因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”，所以f′(x1)=f′(x2)=0．

由题意可得f′(x)=x−lnx−a−1．

设g(x)=f′(x)=x−lnx−a−1，则g′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)