2024-2025学年上海市静安区新中高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市静安区新中高级中学高一（上）开学数学试卷一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz2.设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+cA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。3.若集合{2,x,y}=集合{1,2,3}，则满足条件的x，y的解集为______．4.已知集合A满足若n∈A且n∈Z，则1n∈A，小张同学迅速得出3个结论：(1)0∉A；(2)集合A不可能是单元素集；(3)当n取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为______．5.已知集合A={1,2}，B={x|2x5−4x36.某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购______张车票．7.如韦恩图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是______.(请用各集合的交，并，补表示)8.若一元二次方程x2−4x+1=0的两根分别为a，b，则a2−2a+a(b−2)−2025=9.集合M={x|x+ax2−1=1}有且仅有210.若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足1a+1b=2c，则称a，b，c是调和的；若满足a+c=2b，则称a，b，c是等差的.已知集合M={x|−2024≤x≤2024,x∈Z}，集合P是M的三元子集，即P={a,b,c}⊆M.若集合P中元素a，b，c三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.(本小题8分)

已知关于x的不等式ax−5x−a≤0的解集为M．

(1)当a=4时，求集合M；

(2)若5∉M，求实数a的取值范围．12.(本小题8分)

网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．

(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；

(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．13.(本小题8分)

已知集合A={x|nx2−mx+5m2−6=0}≠⌀，集合B={x|1<x<4且x∈Z}，C={x|ax+3>0}，若A∩B=A，设m的取值集合为D，若C∩D=⌀14.(本小题13分)

利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题．

(1)求证：3是无理数．

(2)

①求证：三角形的内角和为180°

②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°15.(本小题13分)

已知集合A={x|x=m2−n2,m,n∈Z}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，C={x|3x−123x−96≤0,x∈Z}.

(1)试判断：0，1234是否属于集合A，并说明理由；

(2)试判断：A与参考答案1.B

2.D

3.{(x=1,y=3)，(x=3,y=1)}

4.(1)(3)

5.⌀

6.27

7.(M∩P)∩(∁8.−2025

9.{−510.1012

11.解：(1)当a=4时，4x−5x−4≤0，则，解得54≤x<4，

故集合M=[54,4)．

(2)当5∉M，

若分母5−a=0，a=5，

若分母不为0，则将x=5代入不等式左边得5a−55−a>0，

即(5a−5)(5−a)>0，解得12.解：(1)从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．

∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100−60−43+8=5，

利用样本数据估计该校学生中，

移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人．

(2)样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁，

现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，

基本事件总数n=C52=10，

这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m=C313.解：由题可知，B={2,3}，

当a=0时，C=R，

此时C∩D=D≠⌀，不合题意，故a≠0，

由于由A∩B=A得，A⊆B，

①若n=0，若m=0，则A=⌀，不合题意，

所以m≠0，则x=5m−122m，

当5m−122m=2时，解得m=12，

此时D={12}，

又因为C∩D=⌀，所以a⋅12+3≤0，

解得a≤−14；

当5m−122m=3时，解得m=−12，

此时D={−12}，

又因为C∩D=⌀，所以a⋅(−12)+3≤0，

解得a≥14；

②若n≠0，Δ=0时，m2−4n(5m2−6)=0，

当2∈A时，4n−2m+5m2−6=0，联立解得n=1m=4，

此时D={4}，

又因为C∩D=⌀，则4a+3≤0，

解得a≤−34；

当3∈A时，9n−3m+5m2−6=0，联立解得n=1m=6，

此时D={6}，

又因为C∩D=⌀，所以6a+3≤0，

解得a≤−12；

③若n≠0，Δ>0时，即m2−4n(5m2−6)>0，

由A∩B=A得，A=B，

由根与系数关系得，mn=552m−6n=6，解得n=1213m=6013，14.证明：(1)假设3是有理数，那么它可以表示成qp(p,q是互质的两个正整数)，

所以(qp)2=3，所以q2=3p2，即q2是3的倍数，所以q是3的倍数，

所以可设q=3m，所以(3m)2=3p2，所以p2=3m2，

所以p2是3的倍数，所以p是3的倍数，

这与“p，q是互质的两个正整数”相矛盾，所以假设不成立，故3是无理数．

(2)①：假设三角形的内角和不等于180°，即∠A+∠B+∠C≠180°，

过点A作DE/​/BC，则∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，

因为∠A+∠B+∠C≠180°，所以∠A+∠DAB+∠EAC≠180°，

即∠DAE≠180°，这与∠DAE15.解：(1)根据题意，对于集合A，x=m2−n2=(m+n)(m−n)，

又由m，n∈Z，

若m、n一个是奇数，一个是偶数，则m+n、m−n都是奇数，则x为奇数，

若m、n都是奇数或都是偶数，则x为4的倍数，

故集合A中的元素要么为奇数，要么为4的倍数，

对于0，是4的倍数，则0∈A，

对于123