数学本讲测评：第二讲直线与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本讲检测一、选择题(每小题5分，共60分）1.如图2—8，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°,C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB等于()图2—8A。80°B.50°C.130°D。50°或130°解析：分两种情况，C在优弧上，在劣弧上，(1）当C在优弧上，连结AB.∵PA、PB是⊙O切线,∴PA=PB.∴∠ABP=∠BAP。∴∠ABP==50°.由弦切角定理,∴∠ACB=50°。(2）当C在劣弧上C′点位置，∵ACBC′内接于⊙O,∴∠C′=130°.答案：D2。如图2—9,MN切⊙O于点A，∠AOB=60°,那么∠BAM等于（)图2—9A.120°B。90°C。60°D。30°解析:同弧对的圆周角等于圆心角一半，而弦切角等于它所夹弧所对的圆周角,∴∠BAM=∠AOB=30°.答案：D3.已知AB、CD是⊙O的两条直径,则四边形ABCD一定是(）A.等腰梯形B。菱形C.矩形D.正方形解析：∵直径所对圆周角是90°，∴AB、CD所对圆周角都是90°.∴ABCD一定是矩形。答案：C4。如图2—10，AB是⊙O的直径,∠C=30°，则∠ABD等于()图2—10A。30°B.40°C。50°D。60°解析：∵∠C=30°，∴的度数是60°。∴的度数是180°—60°=120°。∴∠ABD=60°.答案：D5。如图2—11,⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于()图2-11A。B.C.D.解析:过O作OE⊥AC,∵AC是⊙O的切线,∴点E为切点.设半径为r,则CE=r,∵OE∥CD,∴=，即.解得r=.答案:A6。如图2-12,已知AB是⊙O直径,P是AB延长线上的一点，PCD是割线，⊙O的半径为，PB=CD=2，则BC∶AD的值为（）图2-12A。B。C.D.解析：∵PAB、PCD是⊙O割线,∴PB·PA=PC·PD。∵⊙O的半径为，PB=CD=2，∴PA=PB+AB=。∴PD=PC+CD=PC+2.∴2×=PC(PC+2）。解得PC=3或—5(舍去).∵ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠PBC=∠D。又∵∠P=∠P，∴△ADP∽△CBP。∴==。答案:B7。如图2-13,⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2,若CF∶DF=1∶4,则CF的长为()图2—13A.B。2C。3D。解析：设CF=x,则FD=4x.由相交弦定理，得AF·FB=CF·FD,即2×8=x·4x.x=2或-2(舍去)。答案：B8。如图2-14,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线，且PA=,PB=BC,那么BC的长是（）图2-14A.3B.C。D。解析：设BC为x,则PB=x,PC=2x.由切割线定理PA2=PB·PC，即(）2=2x·x.解得x=3。答案：A9。如图2-15，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm,P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有_____________个.（)图2—15A.2B.3C。4解析：双向延长OP交⊙O于C、D两点.由相交弦定理AP·BP=CP·DP,∴AP（AB—AP）=（OC-OP)（OD+OP），即AP（8-AP）=（5-OP)(5+OP).整理得OP=（AP≤8）.∴当AP=0,4-,4,4+，8时,OP=5,4,3,4,5.答案：D10。如图2-16,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5,AC=7，BE=3，下列命题错误的是（）图2—16A。△AED∽△BECB.∠AEB=90°C.∠BDA=45°D.图中共有2对全等三角形解析：①∵AB=CD，∴=。∴∠DAE=∠DBC=∠ADB=∠ACB。∴△AED∽△BEC。正确.∵AB=CD,∠BAE=∠CDE,∴∠AEB=∠CED。∴△ABE≌△DCE。∴BE=EC.∴AE=AC-EC=7-3=4.∴AB2=AE2+BE2.∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°.∴△AED为等腰直角三角形.∴∠BDA=45°,正确。图中全等三角形，除了△ABE≌△DCE,△ABC≌△DCB外，还有△ABD≌△DCA。∴D不正确.答案:D11。如图2—17,若直线PAB、PCD分别与⊙O交于点A、B、C、D,则下列各式中正确的是()图2-17A.PA∶PC=PB∶PDB。PA∶PB=AC∶BDC。PA∶PC=PD∶PBD。PB∶PD=AD∶BC解析:若A正确,则PA·PD=PC·PB,与割线定理矛盾。∵∠PCA=∠ABD，∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB。PA∶PB不是对应边,故B错误.由割线定理PA·PB=PC·PD，∴PA∶PC=PD∶PB，故C正确.答案：C12。如图2—18,△ABC内接于⊙O,DE∥BC，且DE相切⊙O于F，则图中与∠CFE相等的角有_____________个.()图2—18A.2B.3C解析:∵,∴∠CFE=∠FAC，∠CFE=∠FBC。∵BC∥DE,∴∠CFE=∠BCF.又，∴∠BCF=∠BAF=∠BFD.∴共5个.答案:D二、填空题（每小题4分,共16分）13。如图2-19，已知AB是直径，CD是弦，过C点的切线与AD的延长线交于E点。若∠A=56°，∠B=64°，则∠CED=______________。图2-19解析:连结BD,∵AB是直径,∴∠A+∠ABD=90°.∴∠ABD=90°-∠A=34°.∴∠CBD=∠ABC—∠ABD=64°—34°=30°。∴∠DCE=∠CBD=30°。又∵∠EDC=∠ABC=64°，∴∠CED=180°-∠EDC—∠DCE=86°。答案：86°14.如图2-20，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E，并且CD∶DE∶EF=1∶2∶1，AC=4,则⊙O的直径AB=_________。图2-20解析：设CD=k，则DE=2k，EF=k,CF=4k.由切割线定理,得AC2=CD·CF,∴42=k·4k.∴k=2.∴CE=6，DE=4，EF=2。在Rt△ACE中，AE=.根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF。∴·EB=4×2.∴EB=。∴AB=AE+EB=.答案:15。如图2—21，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，PO=13cm，⊙O半径r=5cm，则△PDE的周长为______________。图2-21解析:连结OB，∵PB切⊙O于B，∴OB⊥PB.在Rt△POB中，PB==12。据切线长定理PA=PB=12,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=24cm。答案:24cm16。如图2—22，已知两圆相交于C、D,AB为公切线，CD的延长线交AB于M,若AB=12，CD=9，则MD=________________。图2-22解析:由切割线定理，MA2=MD·MC,MB2=MD·MC,∴MA2=MB2.∴MA=MB=AB=6。∵MA2=MD·MC,∴62=MD（MD+9).解得MD=3.答案：3三、解答题（共74分）17.（12分)如图2-23，已知AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点，CD切⊙O于D,DE⊥AB于E.求证:∠CDB=∠EDB。图2—23证明:连结AD,∵AB是直径,∴∠ADE+∠EDB=90°.∵∠A+∠ADE=90°，∴∠A=∠EDB。又∠CDB=∠A，∴∠CDB=∠EDB.18.（12分）如图2—24,已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D.求证：AB是以CD为直径的圆的切线。图2-24证明:连结AE、OE，作EF⊥AB于F,∵CD切⊙O于E，∴OE⊥CD.∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥OE∥BD.∵AO=OB,∴CE=ED.又∵OA=OE，∴∠1=∠3.∵AC∥OE,∴∠2=∠3。∴∠1=∠2.∴EF=CE.∴AB是以CD为直径的圆的切线。19.（12分）如图2—25，已知⊙O1和⊙O2相交于点B、C，A是⊙O1上一点,直线AB与AC分别交⊙O2于D、E，直线BC与ED交于点F，与过A的⊙O1的切线交于点T.求证:。图2—25证明:∵AT切⊙O1于A,∴∠ABT=∠TAC。∵∠ABT=∠FBD，∴∠TAC=∠FBD.∵四边形BDEC内接于⊙O2，∴∠FDB=∠BCE.又∠BCE=∠ACT，∴∠FDB=∠ACT。∴△ACT∽△BDF。∴.∴。又∵AT2=TC·TB,∴.20。(12分）如图2—26，已知⊙O和⊙O′外切于点E,AC是外公切线,A、C是切点,AB是⊙O的直径,BD是⊙O′的切线，D是切点，求证:AB=BD.图2-26证明:作两圆内公切线EF,连结AE、BE、CE。∵∠FAE=∠FEA,∠FEC=∠FCE，∴∠AEF+∠FEC=90°,即∠AEC=90°。∵AB是直径,∴∠AEB=90°.∴B、E、C在一条直线上。∵AC切⊙O于A，∴AB⊥AC.在Rt△ABC中，由射影定理,得AB2=BE·BC。又BD切⊙O′于D,由切割线定理BD2=BE·BC,∴AB2=BD2.∴AB=BD。21。（12分）如图2-27，已知线段AB、CD相交于点O，且OA·OB=OC·OD,求证:A、B、C、D四点共圆.图2—27证明：连结AC、AD、BC、BD,∵OA·OB=OC·OD,∴。∠AOD=∠COB，∴△AOD∽△COB。∴∠1=∠2。同理，可证△AOC∽△BOD，∠3=∠4。∴∠5+∠1+∠6+∠3=∠5+∠2+∠6+∠4=180°，即∠CAD+∠CBD=180°。∴A、B、C、D四点共圆。22。（14分)(1)如图2—2-8，已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F（不与B重合),直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD。求证：①∠BAD=∠CAG;②AC·AD=AE·AF.（2)在问题(1)中，当直线l向上平行移动,与⊙O相切时，其他条件不变。①请你画出变化后的图形，并对照图2—28标记字母;②问题（1）中的两个结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由。图2—28（1）证明:①连结BD，∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠AGC=∠ADB。又∵ACDB是⊙O内接四边形,∴∠ACG=∠B.∴∠BAD=∠CAG.②连结CF.∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB,∴∠DAE=∠FAC。又∵∠ADE=∠F，∴△AD