数学版本章整合学案：第三章三角恒等变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一三角函数式的求值问题三角函数式求值问题通常包括三种类型：给角求值,给值求值，给值求角．(1）给角求值：一般给出的角都是非特殊角,直接求解较难，需合理地进行角的变换,应用和差角公式、倍角公式、半角公式，使其转化为特殊角的三角函数值求解．（2）给值求值：即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数式的值．解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件．解决问题的关键是结合条件和结论中的角,合理拆、配角．(3）给值求角：本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值．在求角之前还需结合函数的单调性及角的范围确定所选取的函数的种类．给值求角的另一个难点是缩小角的范围，使得在所确定的范围内满足条件的角只有一个．有时仅根据已知条件是不够的，还要根据三角函数值和函数单调性缩小角的范围．【例1】已知α，β,γ均为锐角,且tanα＝，tanβ＝，tanγ＝,求α＋β＋γ的值．解:因为tan（α＋β)＝＝＝,所以tan(α＋β＋γ)＝tan[(α＋β)＋γ］＝＝＝1．因为tanα<1，tanβ〈1,tanγ<1,所以α，β，γ∈．所以α＋β＋γ∈．又因为tan(α＋β＋γ)＝1，所以α＋β＋γ＝．专题二三角函数式的化简主要有以下几类：(1）对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；（3）对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”;角的变换，即“单角化倍角"“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．【例2】化简下列各式：（1）；（2）．分析：(1)由题目可获取以下主要信息:－α与＋α互余；分子满足二倍角余弦公式的结构．(2)由于分子中有α，2α，3α三种角，故采取中间凑的思路：cosα＋cos3α＝cos（2α－α）＋cos(2α＋α)＝2cos2αcosα;分母可用升幂公式将sin2化为角α的三角函数，即sin2＝，分子、分母约分即可得解．解:（1)＝＝＝＝1．（2）＝＝＝＝＝4cosα．专题三三角函数式的证明问题解决此类问题的原则是：观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，那就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．证明的一般步骤是:先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．【例3】已知tan（α＋β）＝3tanα．求证：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β）．分析：解答本题可先将已知等式切化弦，再设法推出待证等式．证明：tan（α＋β)＝3tanα，可变形为sin（α＋β）cosα＝3sinαcos（α＋β)⇒sin(α＋β）cosα－sinαcos(α＋β）＝2sinαcos(α＋β)⇒sin［(α＋β）－α］＝2sinα（cosαcosβ－sinαsinβ）⇒sinβ＝2sinαcosαcosβ－2sin2αsinβ⇒(1＋2sin2α）sinβ＝sin2αcosβ．当cosβ＝0时，上式中因为1＋2sin2α≠0，所以sinβ＝0,矛盾．所以cosβ≠0，上式两边同乘以2cosβ，得(1＋2sin2α）sin2β＝sin2α2cos2β⇒sin2β＋(1－cos2α)sin2β＝sin2α（1＋cos2β)⇒2sin2β－sin2α＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝sin(2α＋2β），所以等式成立，即得证．专题四三角恒等变换与向量、三角函数的综合问题解决这类问题，应利用平面向量的坐标运算、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识,拨去平面向量的“外衣”，直抵问题核心部分(即将向量转化为三角函数问题)，利用三角公式和三角函数恒等变换思想方法进行化简，使问题得以解决．【例4】已知A，B,C为锐角三角形ABC的三个内角，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA）,q＝(sinA－cosA，1＋sinA），若p与q是共线向量．（1）求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时B的大小．解:（1）因为p与q共线，所以2(1－sinA）(1＋sinA）－（cosA＋sinA）(sinA－cosA）＝2cos2A－（sin2A－cos2A）＝2cos2A－（－cos2A）＝2cos2A＋cos2A＝0，所以1＋2cos2A＝0，所以cos2A＝－．因为0〈2A〈π,所以2A＝120°,所以A＝60°．(2）因为A＝60°，所以B＋C＝120°,即C＝120°－B，所以y＝2sin2B＋cos（60°－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin＋1．所以当2B－＝，即B＝时,y取最大值．专题五三角恒等变换中的数学思想1．整体思想整体思想是指在解决问题时把问题看成一个整体，不去分析问题的各构成部分，而直接求解问题的整体形式，通过整体结构的调节和转化使问题获解的思维形式．【例5】已知θ是第三象限角,且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于（)A．B．－C．D．－解析：由＝sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ,得sin22θ＝．因为θ为第三象限角，所以2kπ＋π<θ〈2kπ＋，k∈Z．所以4kπ＋2π〈2θ<4kπ＋3π，k∈Z,故sin2θ＝，应选A．答案：A2．函数与方程思想函数思想是指利用函数的概念和性质去分析问题、转化问题，并解决问题的思想方法；方程思想则是通过列方程或方程组求解相关量．在三角函数求值过程中常用方程思想求解某个函数的相应值，再代入求解其他值．在求三角函数的最值时，常用转化思想将三角函数转化为其他函数，再借助于函数性质求解．【例6】已知A，B是△ABC的两个内角，且tanA，tanB是方程x2＋mx＋(m＋1)＝0的两个实根，求实数m的取值范围．分析：利用韦达定理求出tanAtanB和tanA＋tanB,再求出tan（A＋B),确定A＋B的值，从而确定tanA，tanB的范围，利用根的分布求出m的范围．解：由题意可得Δ＝m2－4（m＋1）≥0，因为tanA，tanB是方程x2＋mx＋(m＋1)＝0的两个实根,所以tanA＋tanB＝－m，tanAtanB＝m＋1．所以tan(A＋B）＝＝＝1．又因为0〈A＋B〈π,所以A＋B＝．所以0<A〈，0<B〈，所以0<tanA<1，0<tanB〈1．即方程x2＋mx＋m＋1＝0的两个实根都在(0，1)内，令f（x）＝x2＋mx＋m＋1，则即解得－1〈m≤2－2．所以m的取值范围是(－1,2－2]．点评本题要注意内角和A＋B＋C＝π，且A＋B,A＋C,B＋C均在（0，π)内，研究根的情形要结合二次函数图象，利用数形结合解决．3．转化与化归思想转化与化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：(1）化异角为同角；(2）化异名为同名；(3）化未知角为已知角；（4)化高次为低次（或平方、开方去掉无理式)；（5）化特殊为一般（如把已知三角函数值求特殊范围内的角，逐步化归为求适合条件的所有角的集合)．在转化时，要特别注意问题的等价性．【例7】化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β．分析：本题可以从角入手,把异角化为同角,也可以从三角函数名称入手，把异名化为同名．解法一：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α）(cos2β－sin2β）＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（cos2αcos2β－sin2αcos2β－cos2αsin2β＋sin2αsin2β)＝(sin2αsin2β＋cos2αcos2β＋sin2αcos2β＋cos2αsin2β）＝[sin2α（sin2β＋cos2β）＋cos2α(cos2β＋sin2β）］＝．解法二：原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β＝sin2αsin2β－sin2αcos2β＋cos2β－co