高三复习数学教师5（指导一-指导三）

指导一融会应通10大解题技法，又快又准解决高考客观题

技巧——巧解客观题的10大妙招

（一）选择题的解法

题型祗述明要点思应用

选择题是高考试题的三大题型之一，浙江卷8个小题.该题型的基本特点：绝大部

分选择题属于低中档题目，且一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小

型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题

的能力.解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选

择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解

答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选

择题的一些技巧，总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不

能大做.

解题方法I示方法求突破

方法一直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准

确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选

项''对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法.涉及概念、性质的辨

析或运算较简单的题目常用直接法.

【例1】（2016.山东卷）若函数y=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两

点处的切线互相垂直，则称y=〃）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=evD.y=x3

解析对函数y=sin光求导，得y，=cos%，当x=0时，该点处切线/i的斜率k

=1,当X=n时，该点处切线，2的斜率女2=—1,'.k\'k2=—\,/./|±/2；对函

数y=\nx求导，得y=：（x>0）恒大于0,斜率之积不可能为一1；对函数y=ex

A.

求导，得了=e，恒大于0,斜率之积不可能为一1；对函数y=x\得V=3f恒大

于等于0,斜率之积不可能为-1.故选A.

答案A

探究提高直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习

中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解

选择题是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.

【训练1】（2015・湖南卷）已知点A,B,C在圆_?+丁=1上运动，且A8_L3C.

若点尸的坐标为（2,0）,则|或+而+的|的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

解析由A,B,C在圆/+9=1上，且...AC为圆直径，故或+1=

2PO=(-4,0),设B(x,y),则f+尸=1且xW[—1,1],PB=(x-2,y),所以

成+而+反'=。-6,＞）.故|闻+而+反］=、-12x+37,：.x=~l时有最大值眄

=7,故选B.

答案B

方法二特例法

从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条

件的特殊函数或图形位置进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意

在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊

数列等.适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.

【例2】（1）如图，在棱柱的侧棱4A和38上各有一动点P,

Q满足4P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分,

则其体积之比为（）

A.3：1B.2：1

C.4：1D.小：1

（2）已知定义在实数集R上的函数y=*x）恒不为零，同时满足./U+y）=/U）：/b）,

且当尤＞0时，/）＞1,那么当xVO时，一定有（）

A.於)<一1B.-l<y(x)<0

C^)>1D.O<X%)<1

解析（1）将P、。置于特殊位置：P-A1,QfB,此时仍满足条件AiP=8Q（=0）,

VABC-AIBICI

则有Vc=

AAIBVAIASC—3

（2）取特殊函数.

设_/U）=2*，显然满足兀「曰）=八分和）（即且满足x>0时，式》）>1,

根据指数函数的性质，当x<0时，即OV./U）<1.

答案（1）B（2）D

探究提高特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情

况再检验，或改用其他方法求解.

【训练2]等差数列｛斯｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3加项

和为（）

A.130B.170

C.210D.260

解析取m=l,依题意ai=30,«|+<22=100,则42=70,又｛m｝是等差数列，

进而<23=110,故§3=210.

答案c

方法三排除法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题

意的正确结论.筛选法（又叫排除法）就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息

或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.

【例3】⑴（2016・浙江卷）已知函数加:）满足：,/）冽x|且式x）22',x£R.（）

A.若则aWbB.若;则aWb

C.若4a）2|0|,贝Ua2bD.若人”）22〃，则“2/?

⑵设函数段）=[r'则满足心。））=2儆）的a的取值范围是（）

「21

A.y1B.[0,1]

C.§+8）D.[l,4-o0）

[x,x20,max{x,2"}=2",x^O,

解析⑴"=(…根据题意可取兀r)=<

max{—x,2X}=—x,x<0,

’2"

即段)={'y:下面利用特值法验证选项.当。=1,〃=一3时可排除选项A,

—x,x<0,

当。=-5,人=2时可排除选项C,D.故选B.

(2)当”=2时，10=/(2)=22=4>1,欢4))=卧叱.•“=2满足题意，排除A,B

2②2“2

选项；当时，1=1,用⑷)=2加)，满足题意，排除

D选项，故答案为C.

答案(1)B(2)C

探究提高(1)对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔

除几个.

(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项.

(3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排

除.

(4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的.

(5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断.

【训练3】(1)方程以2+2x+l=0至少有一个负根的充要条件是()

A.OVaWlB.a<l

C.aWlD.OVaWl或a<0

(2)已知/(©n'f+sine+J,则/(x)的图象是()

解析(1)当“=0时，x=—故排除A、D.当a=l时，

x=—l,排除B.

(2)/(x)=^x2+sin^+x^=^x2+cosx,故/(x)=1¥+cosx)'=；x—sinx,记g(x)

=/(x),其定义域为R,且g(—九)=；(—x)—sin(—x)=—&—sinj=lg(x),所以

g(x)为奇函数，所以排除B,D两项，g'(x)=^—cosx,显然当gj时，

g1(x)<0,g(x)在(0,高上单调递减，故排除C.选A.

答案(1)C(2)A

方法四数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正

确的判断，这种方法叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何

意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性

质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略.

【例4】函数火x)=|x-2|—lnx在定义域内的零点的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

解析由题意可知40的定义域为(0,+8).在同一直角

坐标系中画出函数yi=|x—2|(x>0),y2=lnx(x>0)的图

象，如图所示：

由图可知函数/U)在定义域内的零点个数为2.

答案C

探究提高图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的，用这种策略解题比直接

计算求解更能简捷地得到结果.运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲

线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而会导致错误的选择.

【训练4】设a〉0,人〉0则()

A.若2a+2a=2b+3h,贝Icob

B.若2"+2a=2&+3。，贝Ua。

C.若2a-2a=2h-3b,贝Ua>b

D.若2a-2a=2h-3b,贝Ua<b

解析对于选项A,设函数兀。=2*+3心可知其为增函数.由题意可知2"+3a>2"

+2a=2b+3b,所以知a〉b.则选项A正确，B错误.对于选项C、D,设函数g(x)

=2x—2x,h(x)=2x—3x,求导后可知g(x)与/?(x)在(0,+8)上均不是单调函数，

所以根据已给等式无法判断久匕的大小.

答案A

方法五估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行

准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判

断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.

【例5】已知sin•=,+；，cos贝Itan£■等于（）

3m~3

A--------R---------

9—m|9-m\

C.—1D.5

解析由于受条件sin26）+cos29=1的制约，加一定为确定的值进而推知tan

JIn，n9

也是一确定的值，又彳VOVn,所以彳<»■<»■,故tan5>1.所以D正确.

答案D

探究提高估算法的应用技巧：

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面

解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时（如难度稍大的函数的最值或取值

范围、函数图象的变化等问题）常用此种方法确定选项.

【训练5】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方

体的正视图的面积不可能等于（）

A.lB取

=2'2

解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一

边长，另一边长最小为1,最大为近，面积范围应为［1,例,不可能等于咛a.

答案c

I月细总结探规律防失误

1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合

法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的

特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上

做文章，切忌盲目地采用直接法.

2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入

“陷阱”，应该从正反两个方向筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.

3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，

并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.

（二）填空题的解法

题型极述「明要点思应用「

填空题是高考试题的第二题型.从历年的高考成绩以及平时的模拟考试可以看出，

填空题得分率一直不是很高.因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达

式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，

由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，

则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法,

在“巧”字上下功夫.

填空题的基本特点是：（1）具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、

答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；（2）填空

题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但

同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一

些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；（3）从填写内容看，主要

有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺

少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，

要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真

假的判断等.

解题方法I示方法求突破

方法一直接法

对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是

直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.

要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.

【例1】设B是双曲线C：:一方=1(40,Q0)的两个焦点，P是C上一

点，若|PB|十|PF2l=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.

解析设尸点在双曲线右支上，由题意得

1PF1I+IP尸2|=6a,

<

]PFi\-\PF^=2a,

故|PFi|=4a,\PF2\=2a,则|P3|V|BB|,

得NPFIF2=30°,

.2a_________4a

由sin30°=sinNPF2F1'

得sinZPF2F1=1,AZPF2FI=90°,

在Rt^PF2K中，2c=7(4a)?一(2a)2=2小a,

答案小

探究提高直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根

据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活

应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.

【训练1】(1)设。为第二象限角，若tan(0+3=g,则sin〃+cos〃=.

(2)随机变量4的取值为0,1,2.若P(<=0)=1,E(?=l,则。(。=.

解析(l),an(0+3=3，tan6=—1,

3sin，=­cos0,

即,2〃,又。为第二象限角，

[sin2^H-cos2J=l,

解得sincos"=一今像.

/.sin0+cos，=一^

(2)由题意设P《=l)=p,/的分布列如下

012

14

P5P▼

31312

由E©=1,可得p=g,所以。©=12X5+02x5+12x5=5.

答案⑴一邛(2)|

方法二特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提

供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰

当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模

型等)进行处理，从而得出探求的结论.

【例2】⑴若/U)=20]；_]+a是奇函数,则。=.

(2)如图所示，在平行四边形A3CQ中，APL8D,垂足为P,i

//

且AP=3,则办•庆=.B°c

解析(1)因为函数式X)是奇函数，且1,-1是其定域内的值，所以式-1)=一次1),

而11)=2014+“'1)=2015'—]+rz=fl-2014,

故。一端=一(。+加,解得

(2)把平行四边形ABCO看成正方形，则点尸为对角线的交点，AC=6,则办•证

=18.

答案(l)g⑵18

探究提高求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代人法，但要注意此种

方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填

空题，则不能使用该种方法求解.

【训练2】如图，在△ABC中，点〃是的中点，过点M的A

直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q,若»=%屈，AQB//

=//AC,则++!=-

解析由题意可知，的值与点P、。的位置无关，而当直线PQ与直线BC

AJJ

重合时，则有2=〃=1,所以++~^=2.

答案2

方法三图象分析法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往

往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函

数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.

【例3】⑴已知危)是定义在R上且周期为3的函数，当x£［0,3)时，於尸

"―2%+也.若函数尸/㈤一a在区间［―3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a

的取值范围是.

”gx|(OVxWlO),

(2)已知函数1若a,b,C互不相等，且&z)=/S)=/(c)，

|一/+6(x>10),

则abc的取值范围是.

解析(1)函数在区间［-3,4］上有互不相同’

的10个零点，即函数y=/(x),3,4］与y=a的：%I：

图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y=/(x)在：/i/：

-VTxZ---.3-,

［-3,4］上的图象，«—3)=|-2)=人一1)=<0)=/(1)-厂।214”

=/2)=/(3)=/(4)=1,观察图象可得OVavg.

(2)a,b,c互不相等，不妨设a<b<c,

•:

如图所示，由图象可知，OVaVl,,k

1</?<10,10<c<12.芈三三

Ola1b10H2X

•］a)=胆)，，|lga|=|lg勿.

即lga=lg卫,a=B

则话=1.所以abc=c@(10,12).

答案(1)(0,(2)(10,12)

探究提高图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用

图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.

准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关

系，利用几何图形中的相关结论求出结果.

f+Zzx+c,xWO,

【训I练3】设函数«¥)="若|-4)=A0),大-2)=—2,则函

数y=g(x)=f(x)—x的零点个数为

解析由式-4)=<0),得16-4A+c=c.

由八-2)=—2,得4—2/?+c=-2.

联立两方程解得〃=4,c=2.

在同一直角坐标系中，作出函数y=«x)与函数y=x的图象，知它们有3个交点，

即函数g(x)有3个零点.

答案3

方法四构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，

从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基

础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，

横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几

何等具体的数学模型，使问题快速解决.

【例4】如图，已知球。的球面上有四点A,B,C,D,D4，平

面48。,48_18。,。4=48=8。=啦,则球0的体积等于./[\A

解析如图，以。A,AB,8c为棱长构造正方体，设正方体的外

〜----------=?A

接球球。的半径为R,则正方体的体对角线长即为球0的直径，

所以|8|=7(6)2+(近)2+(6)2=27?,

A/64JI广

所以/?=勺，故球。的体积丫=三一=#n.

答案乖n

探究提高构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件

和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模

型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正

方体的体对角线，问题很容易得到解决.

【训练4】已知a=]n2013-2013,2014-2014,c=ln2015-2015,

则a,b,c的大小关系为.

1]-

解析令危)=lnx—x,则/(x)=;—

当OVxVl时，f(x)>0,

即函数兀v)在(0,1)上是增函数.

*1>2013>2014>2015>0,.'.a>b>c.

答案a>b>c

方法五综合分析法

对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析,

从而得出正确的结论.

【例5】已知/U)为定义在R上的偶函数，当无20时，有/U+l)=-/(x),且当

xG[O,1)时，/)=log2(x+l),给出下列命题：①/(2013)+大一2014)的值为0；

②函数式x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y=x与函数.*x)的图象有1

个交点；④函数/U)的值域为(-1,1).其中正确的命题序号有.

解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y=x和函数兀X)的图象如下：

根据图象可知①A2013)+/-2014)=0正确，②函数在定义域上不是周期函

数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函

数/U)的值域是(一1,1),正确.

答案①③④

探究提高对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计

算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多

选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归

纳、概括、抽象等多种手段获得结论.

【训练5】设若x>0时均有［(a—l)x—l］(f—ax-1)^0,贝Ia=.

解析对a进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决.

(1)当。=1时，不等式可化为：x>0时均有f—九一1W0,由二次函数的图象知，

显然不成立，二

⑵当a<l时，x>0,(a—l)x—1<0,不等式可化为：

x>0时均有f—ax—1W0,,二次函数yuf—ax—l的图象开口向上，，不等式

x2—ax—1W0在xE(0,+8)上不能均成立，/.^<1

不成立.：

⑶当时，令«r)=(a—l)x—1,^(x)=x2—ar—1,二厂-…i

两函数的图象均过定点(0,—1),.,.兀V)在—\o

九e(0,+8)上单调递增，且与*轴交点为匕匕，0),

即当xe(0,士)时，./U)<0，当xe［占，+,时，危)>0.

又•二次函数8⑴二/一如一1的对称轴为x=5>0,则只需8⑴二/一如一1与x

轴的右交点与点(占，0)重合，如图所示，则命题成立，即(吉，。)在g(x)图象

上，所以有年1)—1=0,整理得2/-3a=0,解得a=|,a=0(舍去).

3

综上可知a=^

3

答案2

IJ3细总结探规律防失误

1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采

用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种

方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.

2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空

题时要注意如下几个方面：

(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；

(3)要重视对所求结果的检验.

指导二全而掌握解答题的7个模板，规范答题拿高分

规范——解答题的7个解题模板及得分说明

题型概述"明要点】思应用「

1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分

高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.

关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.

2.不求巧妙用通法，通性通法要强化

高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以

用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.

3.干净整洁保得分，简明扼要是关键

若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.

若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.

4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题

(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争

取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(I)问一般难度不大，要保

证得分，第(H)问若不会，也要根据条件或第(I)问的结论推出一些结论，可能就

是得分点.

解题方法示方法求突破

模板1三角变换与三角函数图象性质问题

［真题］（2015•天津卷X满分13分）已知函数,/（x）=sin2x-sin?9■―高，xGR.

（I）求人工）的最小正周期；

（II）求y（x）在区间一行，z■上的最大值和最小值.

满分解答得分说明解题模板

.-1—cos2x

解（I）由已知，有式x）=―

第一步化简：利用辅

①无化简过程，直接得到

助角公式化段）为丫=

Ar）=$in（2x-。），扣5

Asin（ox+9）+k的形

式.

分；

第二步整体代换：设

②化简结果错误，中间某

t=（-Jx+（p,确定t的范

一步正确，给2分.

围.

所以7（x）的最小正周期丁=号=11.（7分）

第三步求解：利用y

=sint的性质求丫=

JIJIAsin（（wx+9）+k的单调

（11）因为段）在区间一X、一?■上是减函数，

性、最值、对称性等.

③单调性正确，计算错

在区间一看，y上是增函数，（10分）第四步反思：查看换

误，扣2分；

元之后字母范围变化，

/_*）TdW6=小，④若单调性出错，给1分;

利用数形结合估算结

⑤求出2x—%■范围，利用

（12分）果的合理性，检查步骤

的规范性.

所以兀V）在区间一孑，亍上的最大值为/,最小数形结合求最值，同样得

分.

值为（13分）

【训I练11(2017•河北五校质检)已知函数於)=cos尤sin(x+

2

■y)-^/3cosx+~^9x£R.

(1)求於)的最小正周期；

(2)求段)在闭区间一不，彳上的最大值与最小值.

解(l)/(x)=cosxsin^x+^—A/3COS2X+^

二卧112x—/(I+cos2x)+j

ii(吟

=[sin2x—^-cos21=耍叫2%—？|.

2n

所以7(%)的最小正周期T=2=兀.

JTJlJlJl

(2)因为yu)在区间［一］，一巨|上是减函数，在区间［一伙，上是增函数,

所以函数於)在闭区间一亍，十上的最大值为《，最小值为一g.

模板2三角变换与解三角形考题

［真题］（2015・全国n卷）（满分12分）在△ABC中，点。是上的点,AD平分NB4C,

△ABD是△ADC面积的2倍.

,,sinB

（TI）求sinC

（11）若4。-1,DC=^~,求8。和AC的长.

满分解答得分说明解题模板

解（I）因为S^BD^AB-ADsinZBAD,①用了面积表达式，第一步找条

即两个表达式写对得件：寻找三角形

S^ADC=^AC-ADsinZCAD.（2分）中已知的边和

2分；

角，确定转化方

又因为SAABD=2SAADC，/BAD=NCAD,

②得出A3=2AC得1向.

所以AB=2AC.（3分）

分；第二步定工

由正弦定理可得黑一器一，（5分）

③给出结果得2分；具：根据已知条

件和转化方向，

④得出也得1

*侬_更什一丝力「—正选择使用的定理

（11泅为以曲-1”「。。'。°-2'分；和公式，实施边

W）Ch

⑤正确写出余弦定理角之间的转化.

所以BD=®6分）第三步求结

得2分；

在△A5O和△ADC中,由余弦定理得果：根据前两步

⑥得出关于AB.AC分析，代入求值

AB2=AD2+BD2-2ADBDCOSZADB,

的关系式得2分；得出结果.

ACQ=AD2+DC2-2ADZ）CcosZADC.（8

第四步再反

分）⑦得出AC=1得2分.

思：转化过程中

因为cosZADB=~cosZADC,

要注意转化的方

所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=

向，审视结果的

6.（10分）合理性.

由（I）知A3=2AC,所以AC=1.（12分）

【训练2】（2017•山西四校联考一）已知△ABC中，内角A,B,C所对的边长分

别为a,b,c,且2sin2C=3sinAsinB.

⑴求角C；

（2）若SAABC=，5，求边C.

3

解（l）：2sin2c=3sinAsinB,Asin2C=2s^nB,

由正弦定理得，=|出2,

\*a+b=y[3c,/.a2+b2+2ab=3c2,

由余弦定理得

屋+/一/2c2—2。。3ab—2ab1

C0SC=_lab-=lab=lab=2-

JI

VCe（O,n）,AC=y.

（2）*«•S/\ABC~\[^9・'・SAABC=Z"'sinC,

丁,ah=4,Xc2=^ah,，c=杂

.模板3数列的通项、求和考题

［真题］（2015•天津卷）（满分13分）已知数列他“｝满足斯+2=q%（q为实数，且°片1）,"GN*,0=1,

42=2,且〃2+〃3，43+〃4，出+室成等差数列.

（I）求4的值和｛斯｝的通项公式；

（11）设为=皿外,〃€1^,求数列｛历,｝的前"项和.

a2n7

满分解答得分说明解题模板

解（I）由已知,有（的+。4）—（。2+。3）=（。4+。5）—（的十。4），①根据数列相第一步找关系：根

即。4一〃2=。5—〃3，所以。2（q—1）=430—1），邻两项间的关据已知条件确定数列

又因为qWl,故仍=。2=2,由〃3=。q，得4=2.（3分）系确定q=2得的项之间的关系.

八一13分；第二步求通项：根

当凡=2%—1（%£N*）时，a=a2k-i=2k~l=22；

n②根据递推公据等差或等比数列的

n

式求数列的通通项公式或利用累

当鹿=2M%WN*）时,m=。2太=2"=22.

项得3分.力口、累乘法或前”项

12^,〃为奇数，

所以，｛。〃｝的通项公式为处=j“（6分）和S,与小的关系求数

列的通项公式.

区〃为偶数.

③求新数列第三步定方法：根

（II）由（I）得bn——”-「（7分）

。2〃一1乙

出"｝的通项bn据数列表达式的结构

设｛小｝的前“项和为S”

得1分；特征确定求和方法

xnX,

则S"—1义2。+2乂21+3*223----卜(〃l)2n-2+2«-i④根据数列表（常用的有公式法、裂

达式的结构特项相消法、错位相减

（8分）

征确定求和方法、分组法等）.

9S„-1X2l+2X22+3X23H------F(a1)X2„-I+«X2„.

法得6分.第四步写步骤.

（9分）第五步再反思：检

L.决而:PHl殂1c1।1।1I…।L〃查求和过程中各项的

上还四工1不日瓶信：2品一1十2十？2十十2”一12"

符号有无错误，用特

-2"2nm八殊项估算结果.

]2〃22〃2“9（10刀）

1-2

〃+2

整理得，S„-42”「"GN*.（12分）

所以，数列｛办｝的前〃项和为42”-1，〃6N*.（13分）

【训练3】（2016•石家庄一模）已知等差数列｛斯｝中，2a2+。3--a5=20,且前10

项和Sio=lOO.

(1)求数列｛4,｝的通项公式；

(2)求数列｛&”•2斯｝的前n项和.

解(1)设等差数列｛小｝的公差为乩由已知得

2。2+。3+。5=4。1+84=20,

',10X9,

10<7|+―2-d=10ai+45t/=100,

fai=l，

解得，.

[d=2.

所以数列斯的通项公式为斯=1+2(〃-1)=2〃-1.

⑵由⑴可知an•2m=(2〃-1>22"-1,

所以S„=1X21+3X23+5X254--b(2n-3)X22n-3+(2n-1)X22n-1,①

4S„=1X23+3X25+5X274---F(2n-3)X22n-1+(2n-1)X22n+1,②

①一②得：

-3S„=2+2X(23+254---F22"T)一(2〃-1)X22"+].

.2+2X(23+25+-+22,,-|)-(2〃-1)X22n+,

••Sn=n

8(1—4f、,

2+2X------:------------(2»-l)X22,,+lI

1—4

―-3

—6+2X8(1—4厂1)+(6〃-3)X22"i

=9

10(6/7-5)-22n+1

=~9+9•

模板4离散型随机变量及其分布考题

［真题］(2015・湖南卷)(满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，

每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1

个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，

则不获奖.

(I)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(H)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学

期望.

满分解答得分说明解题模板

第一步定元:根据

解(I)记事件4=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝,

己知条件确定离散

A2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝,

型随机变量的取值.

5=｛顾客抽奖1次获一等奖｝,给=｛顾客抽奖1次获二等奖｝,