专题10 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（原卷版）

专题10三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.结论：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD//AB交BC于点D，OE//AC交BC于点E．若AB=5cm，BC=10cm，AC=9cm，则△ODE的周长为(

)A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=．

例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。结论：2）外角平分线定理条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论：．3）奔驰模型条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则．例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（

）

A． B． C． D．例3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务：已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．(1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：．例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值．课后专项训练1．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，那么的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·山西大同·八年级校考期中）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（

）A．是的平分线B．C．点在线段的垂直平分线上D．4．（2022秋·广东八年级单元测试）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为A．6 B．7 C．8 D．95．（2023春·山东日照·八年级日照港中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（

）A． B．3 C． D．16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校联考期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则．

7．（2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论：①；②；③若的周长为m，，则④若，则其中正确的结论是（填写序号）．8．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=．9．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，、分别是的一个内角的平分线与一个外角的平分线，过点作，分别交、于点E、F．如果四边形的周长是16，，那么10．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为．11．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为．12．（2023江苏八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=9，AB=12，则DE的长为．13．（2023天津市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝cm．14．（2023·贵州·八年级统考期末）如图①，在中，和的平分线交于点过点作交于交于（1）求证:是等腰三角形．（2）如图①，猜想:线段与线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图②，若中的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于点交于点这时图中线段与线段之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由．15．（2023吉林八年级月考）已知如图，△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=10．求△ODE的周长16．（2023湖北省黄冈市八年级月考）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交于两点，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是__________，的周长是__________；（2）如图2，若将（1）中“中，”该为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长；17．（2023春·江苏八年级课时练习）已知，是一条角平分线．【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：．