专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（原卷版）

专题08三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（

）A．20° B．10° C．50° D．60°例2．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，．求的度数．(2)试求与有何关系？

模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（

）A． B． C．1 D．2例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·湖南娄底·八年级期中）如图，，于点，则图中互余的角有（

）对．

A．3 B．4 C．5 D．6例2．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．例3．（2023·山东八年级月考）如图，在中，，是角平分线，且，求证：．

例4．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2例5．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．

(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：______，结论：______．（填序号）证明：(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）课后专项训练1．（2023上·广东广州·八年级广州市第三中学校联考期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·云南昆明·八年级统考期中）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF3．（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=60°，则∠BPC等于（

）A．90° B．120° C．150° D．160°4．（2023上·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，在锐角中，，分别是，边上的高，且，相交于点P，若，则（

）A． B． C． D．5．（2023下·安徽宿州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（）A．与∠1互余的角只有∠2B．∠A与∠B互余C．∠1＝∠BD．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°6．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④7．（2022下·山东青岛·七年级统考期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，若，，则°．8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则．

9．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为．10．（2023上·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为．

11．（2023下·山西临汾·八年级统考期中）如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为．

12．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么°．

13．（2023上·福建莆田·七年级统考期末）如图所示，AD、BE分别是钝角三角形ABC的边BC、AC上的高．求证：=14．（2023下·八年级课时练习）已知：如图，在中，，，垂足为D．求证：．15．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．

16．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线，（1）下列结论：①，②，③，④与互余，其中错误的是______（只填序号）．（2）若，，求的度数．17．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．（2）如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．①___