专题05 二次函数与其他实际问题（解析版）

专题05二次函数与其他实际问题考法一：抛球问题1．（2022春·九年级课时练习）在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（

）A．米 B．2米 C．8米 D．10米【答案】C【分析】令y=0，求得x的值，取正值即可．【详解】∵y＝－＋x＋，令y=0，∴－＋x＋=0，∴，解得x=8或x=-2(舍去)，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确解方程是解题的关键．2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．【答案】10【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．【详解】将y=0代入；整理得：（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．【答案】2【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．【详解】根据题意，有，当时，有最大值．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．【答案】2【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，∴当t=2时，h取最大值20，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．5．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．【答案】4【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．【详解】解：当时，，解得：或，结合图形可知：，故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．6．（2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．【答案】

【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．7．（2022·山东青岛·校考二模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；(3)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．【答案】(1)(2)小球能飞过这棵树，理由见解析(3)小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为【分析】（1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解；（2）把分别代入和，即可得到答案；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为，设抛物线的表达式为，把代入得，，解得：，抛物线的表达式为；（2）当时，，，，小球能飞过这棵树；（3）小球在飞行的过程中离斜坡的高度，小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．8．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】(1)y关于x的函数表达式为；(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设，∵经过点(0，)，∴解得∶∴，∴y关于x的函数表达式为；（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数，当y=0时，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．9．（2022·北京·统考中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】(1)23.20m；(2)【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，∴函数关系关系式为：．（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键．考法二：拱桥、隧道问题10．（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【答案】【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，∴，∴，∴抛物线解析式为：；当水面下降，水面宽为8米时，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．11．（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．【详解】（1）依题意，顶点，设抛物线的函数表达式为，将代入，得．解之，得．∴抛物线的函数表达式为．（2）令，得．解之，得．∴．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．12．（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点．设该抛物线函数表达式为，则，∴，∴该抛物线的函数表达式是．任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，∴悬挂点的纵坐标，∴悬挂点的纵坐标的最小值是．当时，，解得或，∴悬挂点的横坐标的取值范围是．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，若顶点一侧挂3盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，若顶点一侧挂4盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2021·贵州安顺·统考中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x，∴新函数表达式为：，∵将新函数图象向右平移个单位长度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．14．（2021·浙江衢州·统考中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【答案】（1）6m；（2）①；②2m【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；②设彩带长度为h，则，代入求值即可．【详解】解（1）设，由题意得，，，，当时，，桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，，，，，(左边抛物线表达式：)②设彩带长度为h，则，当时，，答：彩带长度的最小值是2m．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．考法三：喷水问题15．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．【答案】8【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，联立可求出，，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为，将（4，0）代入可得，解得h=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为________米．【答案】6【分析】设水柱所在抛物线的函数表达式为(x≥0)，根据题意得到A（0，），D（11，0），对称轴x=5，用待定系数法求出函数表达式，把x＝5代入，即可得到喷出水柱的最大高度．【详解】解：设水柱所在抛物线的函数表达式为(x≥0)，∵雕塑OA高米，∴点A的坐标是（0，），∵落水点C、D之间的距离为22米，∴点D的坐标为（11，0），∵与OA水平距离5米处为水柱最高点，∴抛物线的对称轴为x=5，得到解得∴水柱所在抛物线的函数表达式为(x≥0)当x=5时，，∴喷出水柱的最大高度为6米，故答案为：6【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数表达式是基础，求出函数的最大值是关键．17．（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)(2)2或6m【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．18．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．(1)若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．【答案】(1)①,；②；③(2)【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，设．又∵抛物线经过点，∴，∴．∴上边缘抛物线的函数解析式为．当时，，∴，（舍去）．∴喷出水的最大射程为．

图1②∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．③如图2，先看上边缘抛物线，∵，∴点的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点时，．解得，∵，∴．当时，随着的增大而减小，∴当时，要使，则．∵当时，随的增大而增大，且时，，∴当时，要使，则．∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴的最小值为2．综上所述，的取值范围是．（2）的最小值为．由题意得是上边缘抛物线的顶点，∴设上边缘抛物线解析式为．∵上边缘抛物线过出水口（0，h）∴解得∴上边缘抛物线解析式为∵对称轴为直线，∴点的对称点的坐标为．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴下边缘抛物线解析式为．当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，∵DE=3∴设点，，，∵D在下边缘抛物线上，∴∵EF=1∴∴，解得，代入，得．所以的最小值为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．19．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值．(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？【答案】(1)能浇灌到小树后面的草坪；(2)最大值为；(3)喷射架应向后移动1米．【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，设设水流形成的抛物线为，代入点（0，1）求出二次函数的解析式，再求出当x＝15时的函数值，即可得到结论；（2）先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；（3）设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解．(1)解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，则可设水流形成的抛物线为，将点（0，1）代入可得a=，∴抛物线为当x=15时，y=4.75>4.2，∴能浇灌到小树后面的草坪．(2)解：由题可知A点坐标为（15，3），设直线OA的解析式为y=kx，把点A的坐标（15，3）代入得15k＝3解得k＝则直线OA为∴∴的最大值为．(3)解：设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为将点B（15，4.2）代入得：解得m=1或m=-11(舍去)∴喷射架应向后移动1米．【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．考法四：其他问题20．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．(1)当k＝10时，求a、b的值；(2)在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；(3)若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）根据B、D两点的坐标可得a和b的值；（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，可得x＝4.5，再把x＝4.5代入y（x﹣7）2中可得y的值，进而可得答案；（3）根据抛物线BEF最远经过点C，最近经过点D可得b的范围（1）解：根据题意得：点B（0，6），当k＝10时，抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+10，把B（0，6）代入解析式为6＝4b+10，解得b＝﹣1，把D（1，6）代入抛物线DC的表达式y＝a（x﹣7）2，6＝36a，解得a，∴a，b＝﹣1；（2）解：把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，解得x＝4.5或﹣0.5（舍去），把x＝4.5代入y（x﹣7）2中，y，∴他距DC的竖直距离为3.75（m）；（3）解：在y＝a（x﹣7）2中，当x＝7时，y＝0，∴C（7，0）．把B、C的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：，解得b，把B、D的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：，解得b＝0，∴b的取值范围是b＜0．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的解析式是解题关键．21．（2022·江苏扬州·校考三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣．根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．(1)求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；(3)该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）【答案】(1)，(2)(3)用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大【分析】（1）设，根据图象，直线过点，代入求解即可，根据题意和图乙即可得到自变量的取值范围；（2）分两段，时，根据图象的特点，设，用待定系数法求解即可，时，；（3）设该同学用于复习的时间为分钟，学习收益总量为，则他用于学习的时间为分钟，分，和两种情况，根据学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量，列出函数解析式，根据函数的性质，求最值即可．【详解】（1）解：由图象可知，学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数为正比例函数，直线过点，设，把代入，，解得：，∴；∵他利用30分钟时间进行自主学习，图乙的时间为：，∴自变量x的取值范围是：；（2）解：由图象可知：①当时，图象为抛物线，过原点，顶点坐标为：，设，把代入，得，解得：，∴，②当时，，∴．（3）解：设该同学用于复习的时间为分钟，学习收益总量为，则他用于学习的时间为分钟，当时，，∴当时，学习收益总量最大，，当时，，∴随的增大而减小，∴当时，学习收益总量最大，综合所述，当时，学习收益总量最大，，此时学习时间为：（分钟），即该学生用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大．【点睛】本题考查函数的实际应用．根据题意和图象，准确的求出函数关系式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．22．（2022·湖北武汉·统考中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为时，代入（1）式中关于的函数解析式求出时间t，再将t代入关于的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为，得到，化简即可求出最小值，于是得到结论．【详解】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，，解得，∴，根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得，解得，∴;（2）依题意，得，∴，解得，，；当时，；当时，（舍）；答：黑球减速后运动时的速度为．（3）设黑白两球的距离为，，∵，∴当时，的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．23．（2022·江西·统考中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起