专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（原卷版）

专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=．例2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，为边上的动点，当时，．

例3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．例6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．例7．（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）已知四边形．(1)问题探究：如图1，当四边形是正方形时，点E，Q分别在边，上，于点M，点F，G分别在边，上，．①判断与的数量关系：___________；②推断：的值为___________．(2)变式应用：如图2，当四边形是矩形，．点F，G分别在边，上，将四边形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，连接交于点O．试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，在四边形中，，若点E，Q分别在边BC，上，，请直接写出的值．

课后专项训练1．（2023·湖南益阳·统考一模）矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（

）．

A．1 B．3 C．1或3 D．1或42．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（

）

A． B． C． D．3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为．4．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为．

5．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为．

6．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于．

7．（2023春·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的结论：（填序号）

8．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为．

9．（2022·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．10．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．

11．（2023秋·河北保定·八年级统考期中）如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．（1）当时，；（2）点从点以每分钟个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动分钟后，与全等．12．（2023·吉林长春·九年级校联考期中）[感知]如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），，易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）[探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），（1）求证：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长.[应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长.13．（2023·北京西城·九年级校考期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于.（1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长；14．（2023·辽宁丹东·统考二模）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.15．（2023春·四川乐山·九年级统考期中）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．16．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点D、E分别在边上，，求证：；【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点D，点E在边上，，点F在边上，，则的值为_____________；【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点D、E分别在边上，，若，，求的长．17．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考阶段练习）是菱形边上一点，是等腰三角形，，（），，交边于点，，连接．

(1)如图，当时，①求的度数；②若，，请直接写出的长；(2)如图，当时，若，，求的