专题04 二次函数与图形问题（原卷版）

专题04二次函数与图形问题考法一：定长围面积最大1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．2．（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．3．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.(1)求养殖房的最大面积.(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？5．北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？(2)如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？6．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？考法二：动点函数图象判断7．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（

）A．B．C．D．8．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（

）A．B．C．D．9．（2022·广东东莞·东莞市万江第三中学校考三模）如图，等边的边长为，沿运动，沿运动，且速度都为每秒个单位，面积为，则与运动时间秒的函数的图象大致为（

）A．B．C．D．10．（甘肃·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．11．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（

）A．B．C．D．12．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A．B．C．D．13．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．14．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）A． B．C． D．15．（2022·辽宁本溪·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动时间为x，当点C1与点B重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A． B．C． D．16．（2022春·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的的图象大致是（

）．A． B．C． D．17．（2022·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C． D．18．（2022·河南周口·统考二模）如图，中，，点为边上一个不与、重合的一个动点，过点作与点，作的中线，当点从点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与的函数图象如图2所示，则的面积为（

）A． B． C．19 D．1819．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C． D．20．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，中，AB=4，BC=8，∠A=60°，动点P沿A-B-C-D匀速运动，运动过速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动．设点Q走过的路程为x(s)，的面积为y(cm²)，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（

）A．B．C．D．21．如图，正方形的边长为4，中，和在一条直线上，当从点G和点B重合时开始向右平移，直到点F与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x的函数关系的图象是（

）A．B．C．D．22．（2022·新疆昌吉·统考一模）如图所示，P是菱形的对角线上一动点，过点P作垂直于的直线交菱形的边于M点，于N点．设，，，的面积为y，则y关于x的函数图像的大致形状是（

）A． B．C． D．考法三：图形综合问题23．（2022·江苏南通·统考二模）如图1，中，，．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作，垂足为P，PQ交的边于点Q，设，的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当时，y的值为（

）A．3 B．2 C． D．24．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；(4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．25．已知：如图，在中，，，，为边上的高，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．解答下列问题：(1)当t为何值时，；(2)当中点在上时，求t的值；(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式，并求S最小值．26．（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点，同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形为平行四边形？(2)设四边形的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值．27．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，在中，，边上的高，，分别是边，上的两个动点（点不与点、重合），与交于点，且，以为边，在点的下方做正方形．(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长．(2)设，与正方形重叠部分的面积为，则当为何值时，有最大值，最大值是多少？28．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．29．（2020·吉林长春·统考二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AB=5cm，BC=3cm．动点E从B出发沿线段BA方向以每秒1cm的速度向终点A运动．过点E作ED⊥BA交射线BC于点D，以DE和DC为邻边作平行四边形EDCF，过点D作DHCA，交射线BA于点H，过点H作HG⊥CA，交射线CA于点H．设点E的运动时间为t（秒）．(1)直接写出CD的长度（用含t的代数式表示）．(2)当点F落在DH上时，求t的值．(3)求平行四边形EDCF与矩形CDHG重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式．(4)若DH将平行四边形EDCF分成两部分的面积之比为k，当0＜k≤时，请直接写出t的取值范围．30．已知，如图，在中，，，．将与重合在一起，让在边BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不含端点），且在运动过程中满足：DE始终经过点A，EF与AC交于点G．解决下列问题：(1)求证：；(2)当运动几秒时，为等腰三角形；(3)当线段AG最短时，求的面积．31．（2022·天津滨海新·统考二模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，为直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，．(1)如图①，求点的坐标；(2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与重叠部分的面积为．①如图②，当与重叠的部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．32．如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)求线段CN的长；(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？33．（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐